23. Нечеткие отношения порядка

Нечетким отношением порядка называется бинарное отношение, которое: 1) рефлексивно (согласно (16.7)); 2) транзитивно (согласно (16.8) или (16.9)); 3) антисимметрично (согласно (22.1)) (будем также говорить просто отношение порядка, если это не приводит к недоразумению).

Можно также дать следующее определение: антисимметричное нечеткое отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.

Пример 1. На рис. 23.1 и 23.2 представлены нечеткие отношения порядка. Можно проверить, что они действительно рефлексивны, транзитивны и антисимметричны.

Рис. 23.1.

Рис. 23.2.

Пример 2. Отношение, определенное в (19.4) и представленное на рис. 19.2, есть нечеткое отношение порядка.

Пример 3. Отношение , где  (рис. 23.3), есть нечеткое отношение порядка.

Рис. 23.3.

Теорема 1. Каждое нечеткое отношение строгого порядка индуцирует порядок (в смысле теории множеств) на своем универсуме посредством отношения

,                       (23.1)

Этот порядок будем обозначать .

Доказательство. Достаточно рассмотреть обычный антисимметричный граф, связанный с данным нечетким отношением порядка.

Примеры. На рис. 23.4 и 23.5 представлены соответственно обычные антисимметричные графы, соответствующие нечетким отношениям порядка на рис. 23.1 и 23.2.

Рис. 23.4.

Рис. 23.5.

На рис. 23.6 изображен счетный бесконечный обычный граф, соответствующий отношению на рис. 23.3.

Рис. 23.6.

Нечеткое отношение полного порядка. Нечеткое отношение называется полным порядком (или полностью упорядоченным нечетким отношением), если соответствующий ему обычный граф представляет полный порядок.

Рассмотрим пример на рис. 23.5. Используя обозначение

, если                (23.2)

[т. е. если  и ], имеем

.                   (23.3)

Нечеткие отношения частичного порядка. Нечеткое отношение называется частичным порядком (нечетким отношением частичного порядка), если соответствующий ему обычный граф представляет частичное упорядочение.

В примере на рис. 23.4 изображен такой случай. Имеем

, .             (23.4)

Отношение совершенного порядка. Если понятие антисимметричности, определенное (22.1), заменить понятием совершенной антисимметричности (22.8), то получим отношение совершенного порядка.

Все эти отношения порядка обладают своими интересными свойствами, которые мы рассмотрим ниже.

Отношения нестрогого и строгого порядка. Подобно тому, как это делается в теории обычных множеств, можно различать отношения нестрогого (транзитивного, рефлексивного, антисимметричного) порядка и отношения строгого (транзитивного, антирефлексивного, антисимметричного) порядка. Отношение нестрогого порядка в общем случае будет называться отношением порядка, а отношение строгого порядка будет доопределяться с помощью прилагательного. Такое отношение можно также называть нерефлексивным отношением порядка.

Нестрогий порядок, как мы уже указывали, будем обозначать

,            (23.5)

а строгий порядок -

.             (23.6)

Приведем несколько примеров строгих нечетких отношений порядка.

Пример 1. На рис. 23.7 приведен пример отношения строгого порядка, одновременно оно есть и отношение совершенного порядка. Кроме того, этот порядок полный. Можно проверить, что

.                      (23.7)

Рис. 23.7.

Пример 2. Рассмотрим , где  и

               (23.8)

Это отношение представляет собой строгий и совершенный порядок (можно проверить, что при  имеем ). Кроме того, этот порядок полный. Можно считать, что это отношение представляет (довольно грубо) утверждение: .

Важное общее замечание. Все определения, связанные с отношениями порядка в обычных множествах, можно непосредственно переносить на нечеткие отношения порядка; для этого в качестве промежуточного понятия достаточно воспользоваться понятием соответствующего обычного графа. Таким образом, оказывается, что для нечетких отношений порядка можно изучать следующие классические понятия: наибольший и наименьший элемент; мажоранта и миноранта; верхний и нижний пределы; максимальная цепь; фильтрующее множество; диаграмма Хассе; полурешетка и решетка.

Некоторыми из этих понятий мы воспользуемся, когда это понадобится для наших целей. Теперь вернемся к понятию приводимого нечеткого предпорядка для того, чтобы привести одну важную теорему.

Теорема 2. Для данного приводимого нечеткого отношения предпорядка существует по крайней мере один класс подобия, и классы подобия сами образуют нечеткое отношение порядка, если для построения последнего используется понятие сильнейшего пути от одного класса к другому.

Доказательство. Отношение, образованное из классов подобия, обязательно антисимметрично, так как в противном случае некоторые классы должны были бы пересекаться.

Пример 1. Вернемся к примеру на рис. 21.2. Для отношения порядка между этими классами (рис. 23.8, а) соответствующий ему обычный граф изображен на рис. 23.8,б. Как видно из рисунка, это полный порядок

.                     (23.9)

Рис. 23.8.

Теперь, имея в своем распоряжении обычный граф, устанавливающий обычное отношение порядка между классами подобия, можно определить нечеткое отношение порядка, существующее между классами, получая это отношение нахождением сильнейшего пути для каждого класса. Для примеров на рис. 21.1, 21.2 и 23.8 результаты приведены на рис. 21.2; аналогично мы воспроизводим на рис. 23.9 результаты для рис. 23.8.

Рис. 23.9.

Для примера, представленного на рис. 21.1, определение сильнейшего пути, существующего между  и ,  и  и, наконец, между  и , не представляет труда. Класс  и класс  соединяют путями, величины которых приведены в следующем столбце:

.

Сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,3. Для путей от  к , очевидно, имеем

и сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,2.

Для путей oт  к  имеем

и сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,5. Таким же образом находим, что не единственный сильнейший путь от  к  имеет значение 0,2.

Аналогично находим, что для  это значение равно 0,4; для  - 0,2, причем определение значений тривиально, поскольку каждый класс состоит только из одного элемента. Таким образом, мы получили, то, что изображено на рис. 23.9.

В более общем случае процедура для построения нечеткого отношения порядка между классами состоит в следующем.

1. В приводимом нечетком предпорядке находим классы подобия . Для этого рассматриваем упорядоченные пары , для которых

.

Для этих упорядоченных пар строим максимальные подотношения подобия. Если все они не пересекаются, то мы получили классы подобия. Если найдутся по крайней мере два пересекающихся класса, то наше отношение не является приводимым нечетким предпорядком.

2. Для каждой упорядоченной пары ,  рассматриваем нечеткое подотношение  между  и  (строки  и столбцы ). Определяем глобальную проекцию подотношения  [см. (12.13)]; таким образом,

, , .

3. Приписываем значение  функции принадлежности пары .

Пример 2. Пример на рис. 23.10 более сложный. В этом приводимом нечетком предпорядке можно заметить несколько особенностей, отсутствовавших в предыдущих примерах. Из рис. 23.11 очевидно, что между классами существует частичный порядок. В предыдущем же примере порядок был полный (см. рис. 23.8).

Рис. 23.10.

Рис. 23.11.

Пример 3. Нечеткое отношение, представленное на рис. 23.12, есть приводимое отношение нечеткого предпорядка, если принять, что

.

Рис. 23.12.

Можно также видеть, что оно разлагается на бесконечное число классов подобия, образующих линейный порядок

.