38. Сети нечетких элементов

Подобно тому, как это делается в теории контактных цепей [2F], теории надежности [7K] и других, сетевое представление последовательно-параллельно соединенных элементов было бы интересно использовать для анализа функций нечетких переменных.

Нечеткий элемент сети. С каждой нечеткой переменной  мы будем связывать элемент , обозначаемый тем же символом. Нам предстоит построить сеть, состоящую из таких элементов .

С функцией  свяжем сеть, представленную на рис. 38.1, с функцией  свяжем сеть, представленную на рис. 38.2. Первую будем называть последовательной сетью, вторую - параллельной.

Рис. 38.1.

Рис. 38.2.

В таких цепях необходимо еще указывать вход  и выход . Результат выполнения операции на элементах сети называется потоком сети.

Так, если  и , то для сети на рис. 38.1 поток из  в  равен 0,4, а для сети на рис. 38.2 при тех же значениях  и  поток равен 0,7.

Теорема 1. Каждой аналитической функции нечетких переменных  можно поставить в соответствие сеть нечетких элементов, с последовательным расположением которых связана операция , а с параллельным - операция .

Доказательство. Мы уже видели, что каждой аналитической функцией  можно по определению поставить в соответствие приведенную полиномиальную форму относительно  или . Каждой из форм затем можно поставить в соответствие сеть.

Пример. Функции (38.1), представленной в приведенной полиномиальной форме относительно

,                    (38.1)

можно поставить в соответствие сеть, изображенную на рис. 38.3.

Рис. 38.3.

Сеть, соответствующая той же функции, но выраженной в приведенной полиномиальной форме относительно

,             (38.2)

представлена на рис. 38.4.

Рис. 38.4.

Маршруты. Последовательность элементов, соединенных один за другим связкой  от  до , будет называться маршрутом или путем. Таким образом, на рис. 38.3 последовательность элементов

 есть маршрут.                    (38.3)

Маршрут называется простым, если он не содержит одного и того же элемента  или элемента  более одного раза.

Так, на рис. 38.4 последовательность элементов

 составляет маршрут,              (38.4)

а

 - простой маршрут.                    (38.5)

Поскольку маршрут рассматривается относительно операции  - ассоциативной и коммутативной, то порядок, в котором элементы расположены в последовательности, несуществен.

Максимально простой маршрут. Пусть  - обычное множество простых маршрутов сети, тогда любой простой маршрут, не содержащий никакого другого маршрута из , называется максимально простым маршрутом. Если  - число нечетких переменных в , то очевидно, что максимально простой маршрут содержит не более  элементов.

Основное свойство. Расположив все максимально простые маршруты параллельно, получим сеть, эквивалентную приведенному полиному относительно .

Свойство становится очевидным, если сопоставить способы построения полиномиальных форм с построением последовательно-параллельных сетей из максимально простых маршрутов, которые соединяются параллельно.

Пример 1. Рассмотрим сеть на рис. 38.5, соответствующую функции

.                (38.6)

Рис. 38.5.

Выпишем множество маршрутов

,                 (38.7)

множество простых маршрутов

,                     (38.8)

множество максимально простых маршрутов

.                    (38.9)

Последнее соответствует приведенной полиномиальной форме в:

                        (38.10)

и простейшей сети, изображенной на рис. 38.6.

Рис. 38.6.

Пример 2. Рассмотрим более сложный случай (рис. 38.7). Выпишем множество маршрутов

             (38.11)

множество простых маршрутов

                   (38.12)

множество максимально простых маршрутов

                        (38.13)

и соответствующую (38.13) приведенную полиномиальную форму в

,             (38.14)

последовательно-параллельная схема которой представлена на рис. 38.8.

Рис. 38.7.

Рис. 38.8.

Плоские сети. Если в сети не существует связи между двумя элементами, пересекающей другую связь, когда сеть между  и  нарисована на плоскости, то говорят, что сеть реализуема в плоскости или планарная. В противном случае говорят, что сеть неплоская. Так, сеть на рис. 38.5 плоская, а на рис. 38.7 - неплоская.

Отметим следующее свойство: сети, соответствующие полиномиальным формам в  или в , - плоские. Действительно, любой полиномиальной форме в  соответствует параллельно-последовательная сеть, которая является плоской, и аналогично любой полиномиальной форме в  соответствует последовательно-параллельная сеть, которая является плоской (см., например, рис. 38.1 и 38.2).

Двойственность плоской сети. Пусть  - плоская сеть. Поскольку сеть плоская, то можно определить грани  как части плоскости, ограниченные связями и элементами (см. рис. 38.9), внутри которых не содержится ни одного элемента. В каждой из этих граней выберем точку, которая станет точкой пересечения связей новой сети. Выберем еще по точке и в двух внешних гранях: выше и ниже линии .

Рис. 38.9.

Следуя правилу: каждую из выбранных точек соединить связью с каждым из элементов, смежным с гранью, в которой находится точка, - построим новую сеть . Сеть  называется двойственной сети .

На рис. 38.9 штриховой линией изображена сеть , двойственная . На рис. 38.10 сеть  изображена непосредственно.

Рис. 38.10.

Для сети и двойственной сети легко проверить следующее свойство:

,                   (38.15)

т. е. двойственная сеть к сети, которая сама есть двойственная сеть сети , совпадает с сетью .

Метод антимаршрутов. Рассмотрим плоскую сеть  и двойственную сеть . Маршруты, соответствующие , называются антимаршрутами сети .

Максимально простые маршруты  дадут максимально простые антимаршруты , а позднее приведут к полиномиальной форме функции  в , представленной сетью . С этой полиномиальной формой в  будет связана параллельно-последовательная сеть, эквивалентная данной сети.

Пример. Рассмотрим сеть  на рис. 38.11, двойственная которой сеть  представлена на рис. 38.12.

Рис. 38.11.

Рис. 38.12.

Маршруты сети  - это антимаршруты сети . Выпишем их

.                (38.16)

Выпишем множество простых антимаршрутов

,                     (38.17)

которое сокращается до множества максимально простых антимаршрутов:

.              (38.18)

Таким образом, приведенная форма относительно , соответствующая параллельно-последовательной сети на рис. 38.13, имеет вид

.                    (38.19)

Рис. 38.13.

Методом маршрутов можно найти полиномиальную форму относительно :

,                  (38.20)

которой соответствует последовательно-параллельная сеть, изображенная на рис. 38.14. Используя подходящее разложение, можно показать, что (38.19) и (38.20) действительно представляют одну и ту же функцию.

Рис. 38.14.

Замечание. Мы знаем, что любую сеть контактных цепей можно выполнить из различных технических элементов (диодов, мостов, транзисторов, интегральных схем и т. п.).

Все приведенные теоретические рассмотрения, касающиеся технологических реализаций функций нечеткой логики при подходящем выборе операторов, можно адаптировать к использованию более разнообразных технических средств. Но есть опасность, что техническая реализация нечетких логик окажется слишком дорогостоящей (здесь в отличие от бинарной техники нужен точный контроль потенциалов). Однако соображения об ограниченных возможностях техники вряд ли останутся справедливыми даже в недалеком будущем.