48. Нечеткая внешняя композиция

Пусть ,  и - три множества. Если каждой упорядоченной паре , ,  можно поставить в соответствие одно и только одно подмножество , то это соответствие называется законом нечеткой внешней композиции при условии, что  или (и) . Если , то закон внутренний.

Пример 1 - чисто дискретный. Пусть

;              (48.1)

;              (48.2)

;              (48.3)

;             (48.4)

;              (48.5)

.             (48.6)

Пусть  и ; каждой упорядоченной паре  поставим в соответствие одно и только одно подмножество  с помощью таблицы. А именно, пусть

 обозначается ,                      (48.7)

 обозначается .               (48.8)

Предположим, что таблица этим двум подмножествам ставит в соответствие третье подмножество

 обозначается .                    (48.9)

Таблица будет содержать  случаев. На рис. 48.1. приведен небольшой фрагмент этой таблицы.

Рис. 48.1.

Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример для закона

,              (48.10)

.             (48.11)

Получим другую композиционную таблицу, на основе которой вычислим элемент . Пусть  задано соотношением (48.7), а  - соотношением (48.8). Имеем

      (48.12)

     (48.13)

Таким образом,

 и .                       (48.14)

Подмножествам

                      (48.15)

и

               (48.16)

соответствует

.

Замечание. Пусть в общем случае  связано с ;  связано с ;  связано с .

Если  формируется из  и  посредством закона , определяемого условием

,                   (48.17)

то  будет выведено из  и  посредством формулы композиции (48.17). Так, для примера (48.10) и (48.11) очевидно, что

.             (48.18)

Разумеется, (48.17) не может рассматриваться как общая формула.

В § 36 мы показали, как компонуются интервалы для операций  и . Аналогичные процедуры можно применить для других случаев.

Пример 3. Построим нечеткий граф, вершины которого - нечеткие подмножества; этим будет определен закон внешней композиции.

Пусть

, .                     (48.19)

Каждой упорядоченной паре  будет поставлен в соответствие элемент, обозначенный

.                   (48.20)

Элемент  принимает свои значения во множестве , определенном операцией .

Предположим, например, что

,                  (48.21)

и

.                      (48.22)

Предположим также, что

.             (48.23)

Эта функция определяет значения  в

.               (48.24)

Полученный нечеткий граф представлен на рис. 48.2. Таким способом можно строить нечеткие графы, которые обладают специфическими свойствами, обусловленными их построением. Достоинство представления внешнего закона композиции в виде нечеткого графа состоит в том, что элементы (вершины графа) - нечеткие подмножества одного и того же универсального множества.

Рис. 48.2.

Если расширить эту тему, то можно дать конкретные приложения, например, когда операцию  используют при оценке расстояния.

Пример 4. Вернемся к примеру 3 и предположим теперь, что  - это относительное обобщенное расстояние Хемминга, которое определяется выражением

.                    (48.25)

Очевидно, что им задается закон внешней композиции (см. рис. 48.3).

Рис. 48.3.

Важность понятия закона внешней композиции нечетких подмножеств. Закон внешней композиции - очень важное понятие: им характеризуется любая система оценки отношений между нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества, а фактически и между нечеткими подмножествами разных универсальных множеств. Множество, в котором  принимает свои значения, может быть обычным множеством или обычным множеством всех подмножеств, а в общем случае - множеством нечетких подмножеств (рис. 48.4).

Рис. 48.4.

Расстояние между сообщениями или нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества - пример (и при том один из наиболее тривиальных), иллюстрирующий это общее понятие.

Отметим, что процедуры для предсказания или разработки открытий и изобретений, называемые биассоциацией, в значительной степени опираются на законы внешней композиции. Такие процедуры состоят в том, что выбирают понятие , которое характеризуется обычным или нечетким подмножеством семейства понятий , и другое понятие , которое характеризуется обычным или нечетким подмножеством другого (а в частности, и того же самого) семейства. Биассоциация  и  представляет собой внешний закон , который позволяет получить новое понятие , характеризующееся обычным или нечетким подмножеством третьего семейства (не исключается и случай совпадения этого семейства с одним из предыдущих) (рис. 48.5).

Рис. 48.5. Биассоциация.