56. Операции на нечетких подмножествах в случае, когда L - решетка

Мы уже знаем, что по определению в любой решетке  каждой паре  можно поставить в соответствие один и только один элемент из , называемый нижней границей  и обозначаемый , и один и только один элемент из , называемый верхней границей  и обозначаемый . Следовательно, множество элементов решетки  обладает двумя всюду определенными внутренними законами  и .

Всю теорию, развитую в § 3 и последующих параграфах, для полностью упорядоченных множеств принадлежностей , которые, как мы знаем, представляют собой очень частный случай решетки, можно распространить на общий случай решеток.

Поэтому пересмотрим материал, изложенный в начале книги, заменив  решеткой .

Пусть  - универсальное множество и  - решетка. Мы знаем, что называется степенью множества .

Пусть . Нечеткое подмножество  или, что эквивалентно, , это такое подмножество, что каждому  можно поставить в соответствие элемент ; этот элемент  обозначим .

Рассмотрим различные обобщения свойств, изученных в § 5; свойства будут изучаться на примере решетки (рис. 56.1) и множества . Мы выбрали столь простой пример лишь с дидактической целью, однако все выводы, конечно, остаются справедливыми для любого универсального множества , конечного или нет, и для любой решетки , конечной или нет.

Рис. 56.1.

Включение. Пусть  - отношение порядка на решетке; будем говорить, что  содержится в , если

              (56.1)

и обозначать это

.                       (56.2)

Таким образом, можно записать

.                      (56.3)

Мы видим, что два нечетких подмножества сравнимы, если 1) сравнимы соответствующие значения, принимаемые функцией принадлежности в решетке ; 2) между двумя нечеткими подмножествами существует отношение доминирования.

Пример (см. рис. 56.1). Пусть

,             (56.4)

.             (56.5)

Очевидно, что  и  действительно сравнимы, поскольку , ,  и, следовательно,

.                       (56.6)

Пусть задано еще одно нечеткое подмножество

.                        (56.7)

Очевидно, что  несравнимо ни с , ни с , поскольку значения  и , которые встречаются в , несравнимы в .

Пусть

.             (56.8)

 несравнимо с , поскольку , ,  и не существует доминирования подмножества  подмножеством  и наоборот.

Равенство. Два нечетких подмножества  и  равны тогда и только тогда, когда

,               (56.9)

или в эквивалентной записи

.                   (56.10)

Дополнение. На этом понятии необходимо остановиться подробнее. Понятие дополнения, использованное Заде при рассмотрении им множества , и понятие дополнения в теории решеток - разные.

По Заде для нечетких подмножеств дополнение определяется так:

.                     (56.11)

Однако мы видели, что не все решетки имеют дополнения и для того, чтобы это свойство здесь имело смысл, необходимо, во-первых, чтобы удовлетворялись условия (54.20) и (54.21), и, во-вторых, чтобы дополнение было единственным. Это выполняется в случае дистрибутивной решетки. Поэтому, чтобы каждому элементу  ставить в соответствие единственное дополнение и, как следствие, единственное дополнение каждому элементу , рассмотрим дистрибутивные решетки с дополнениями, т. е. булевы решетки. Поскольку  - булева решетка, то  - тоже булева решетка.

Тогда можем записать

,                  (56.12)

где 0 - нижняя граница булевой решетки , a  - верхняя граница; в нашем случае 0 и  - не числа, а экстремальные элементы, определенные формулами (54.20) и (54.21).

С учетом этих соображений использованное Заде понятие дополнения будет называться псевдодополнением. Эти два понятия совпадают только в случае, когда рассматривается решетка .

Замечание. Если решетка  дистрибутивная и с дополнениями, то с функциями принадлежности множества  можно работать как с функциями распределения вероятностей. Поэтому, обобщая настоящий случай, мы также обобщаем теорию вероятностей.

Пересечение. Пересечение

             (56.13)

обладает свойством

.            (56.14)

Мы видим, что пересечение может иметь смысл только при условии, что отношение порядка на  определяет  как нижнюю полурешетку. Так как здесь, по нашему предположению,  - решетка, то это условие выполняется.

Пример (см. рис. 56.1). Рассмотрим нечеткие подмножества (56.4) и (56.5); имеем

.                       (56.15)

Объединение. Объединение двух нечетких подмножеств

             (56.16)

определим условием

.                        (56.17)

Мы видим, что объединение может иметь смысл только при условии, что отношение порядка на  определяет  как верхнюю полурешетку. Так как здесь, по нашему предположению,  - решетка, то это условие выполняется.

Пример (см. рис. 56.1). Рассмотрим (56.4) и (56.7). Имеем

.                    (56.18)

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивную сумму определим только при условии, что  - дистрибутивная решетка с дополнением, т. е. булева решетка; в этом случае

.             (56.19)

Разность. Разность нечетких подмножеств определена при тех же ограничениях, что и дизъюнктивная сумма; по определению.

.                       (56.20)

Свойства  и . Как мы уже видели, все свойства  для ,  и дополнения (если оно существует) выводятся из свойств операций ,  и взятия дополнения (если оно существует) на множестве .

Отметим, что обобщение теории нечетких подмножеств, развитой Заде (т. е. когда ), состоит в ее распространении на случай векторных решеток :

, где , .                     (56.21)

В этом случае, если , то

.                (56.22)

Другое обобщение относится к случаю, когда

                      (56.23)

и каждое ,  имеет конфигурацию булевой решетки.

Теорию нечетких подмножеств можно построить для любого типа решеток, не вводя понятия дополнения (как в случае булевой решетки) или псевдодополнения (по Заде).

Нечеткие переменные. Понятие нечеткой переменной, определенное в § 32, также можно обобщить для случая, когда  определяется соотношением (56.21), т. е. представляет собой векторную решетку. Свойства, определенные в (32.12)-(32.26), легко переносятся на этот случай.

Можно применить и другой подход: предположить, что  - булева решетка с дополнениями и дополнение для нечетких подмножеств определено в соответствии с дополнениями в . Тогда опять получаем булеву решетку с теми же свойствами (32.12)-(32.26), если заменим в них  на ,  на  и дополнительно введем условие  и , где 0 и 1 - соответственно нижняя и верхняя границы этой булевой решетки.