Ответы и решения

Глава 1

I.2. а) , , . б) , , , . в) , , , , . г) , , , , .

I.3. а) при ;

б) при ; .

Этот индекс нечеткости идентичен полученному в п. а), так как оба графика (см. рис. 1 и 2) симметричны.

Рис. 1.

Рис. 2.

в) Ниже представлен график функции . Из симметрии графика следует, что индекс нечеткости на равен индексу нечеткости на , найденному в задаче б).

Рис.3.

Непосредственное вычисление подтверждает этот результат:

I.4. a) .

б) .

в) .

г) .

Рис. 4.

1.6. а) В каждом из этих случаев для доказательства того, что левая часть равна , сначала нужно выполнить операцию в скобках, а затем - вторую операцию. При этом следует рассмотреть случаи, когда характеристическое значение меньше, равно или больше значения .

I.8. .

Глава II

II.1.

Рис. 5.

II.2.а) 1-я проекция: ,

2-я проекция: ,

глобальная проекция: .

II.3. 1. a)

II. a) . б) .

II.6.

Рис. 6.

II.7.

Рис. 7.

II.8. а) 0,62, б) при .

II.9. а)

Рис. 8.

II.10. 1. a) , , , , .

2. б) , , , , .

II.11. ,

II.12.

Рис. 9.

II.13.

Рис. 10.

Как видно из этой таблицы, есть отношение предпорядка, а - отношение подобия.

II.14. Последовательно рассчитываем объединение

Рис. 11.

II.15.

Рис. 12.

II.16.

Рис. 13.

Для двух последних отношений имеем

При получении этих транзитивных замыканий находим

и .

II.17.

Рис. 14.

II.18. Нужно показать, что - рефлексивное и (max-min)-транзитивное отношение.

II.19. Нужно показать, что эти отношения обладают свойствами рефлексивности, симметрии и (max-min)-транзитивности. Заметим, что здесь , .

II.20. Пусть и - два предпорядка.

Композиция уже не будет предпорядком, так как это отношение не транзитивно. Рассмотрим конкретный пример:

По той же причине не есть предпорядок. не предпорядок, поскольку это отношение антирефлексивно.

Рис. 15.

И, наоборот, представляет собой предпорядок. Сохранение рефлексивности очевидно. Проверим транзитивность. Имеем

. (1)

. (2)

Требуется, чтобы

Во всех четырех возможных случаях сохраняется транзитивность:

и ,

II.21. Для поиска максимальных подотношений подобия в нечетком предпорядке нужно рассмотреть соответствующую булеву матрицу :

, если ,

, если или .

Найдем булевы матрицы для нечетких отношений предпорядка , , (рис. 16).

Рис. 16.

После того как эти квадратные симметричные матрицы получены, можно применить метод Пиша (см. приложение Б). Для отношения можно обойтись и без дополнительных расчетов, так как в данном случае максимальные подотношения подобия выписываются непосредственно:

Проведем расчеты для :

Таким образом, и - максимальные подмножества. А так как они не пересекаются, то и - классы подобия.

Для получаем

Максимальные подотношения и также не пересекаются и составляют два класса подобия.

II.22. Нечеткое отношение называется антисимметричным, если

при :

или .

Отношения , и из упражнения II.13 антисимметричные.

Нечеткое отношение называется совершенно антисимметричным, если

при :

В II.13 совершенно антисимметрично только отношение .

II.23. , , - это нечеткие отношения порядка, так как они рефлексивные, транзитивные и антисимметричные.

и - нечеткие отношения совершенного порядка, так как они рефлексивные, транзитивные и совершенно антисимметричные.

- отношение полного порядка, так как соответствующий ему обычный граф представляет полный порядок.

и - отношения частичного порядка.

Ниже выписаны отношение и соответствующий ему обычный граф.

Рис. 17.

II.24. Чтобы матрицу нечеткого отношения привести к треугольному виду, нужно сначала построить обычную матрицу, соответствующую этому отношению, а затем найти ее порядковую функцию. Для отношения имеем:

Рис. 18.

II.25. Для транзитивное замыкание и соответствующая булева матрица имеют вид

Рис. 19.

Теперь выпишем максимальные подотношения подобия.

Рис. 20.

Очевидно, что они не пересекаются. Блочно-треугольное представление отношения невозможно, поскольку оно не антисимметрично.

Чтобы выделить классы подобия, перепишем матрицу в виде

Рис. 21а.

Найдем матрицу и соответствующую ей булеву матрицу так же, как это было сделано для отношения .

Рис. 21б.

Для выделения максимальных подотношений подобия в случае нужно обратиться к алгоритму Пиша. Имеем

Рис. 22.

Эти четыре максимальных подотношения не дизъюнктны, точнее, хотя они и пересекаются, ни одно из них не содержится в другом. Блочно-треугольное представление также невозможно, поскольку это отношение не антисимметричное.

II.26. Выпишем отношения подобия и различия для .

Рис. 23.

Очевидно, что эти отношения связаны условием .

Обозначим через классы пар с заданным расстоянием . Имеем:

II.28. Вычисление относительных обобщенных расстояний Хемминга дает отношение несходства согласно условию

где

- обобщенное расстояние Хемминга между и .

(Min-max) - транзитивное замыкание , представляющее собой отношение различия, позволяет найти (min – max)-транзитивные расстояния и построить дерево декомпозиции.

Обычное (min-сложение)-замыканне совпадает с .

Рис. 24.

Рис. 25.

Глава III

III.1.

III.2. Здесь помещена таблица значений только для функции двух нечетких переменных (знак нечеткости опущен). В соответствии с «антиполиндромной» нумерацией рассматривается восемь случаев. Для функции трех переменных потребуется рассмотреть 48 случаев.

Рис. 26.

III.3.

III.4.

III.5. .

Гипотеза 1: ; тогда ,

т. e.

Имеем

и/или

, .

Гипотеза 2: , тогда

т. е.

Имеем

и , и/или .

Перегруппировав результаты, получим

и/или ,

и .

Гипотеза 1: есть максимум.

, .

Имеем

и , и и/или .

Гипотеза 2: есть максимум.

Имеем

и , и и/или .

Гилотеза 3: есть максимум.

, .

Имеем

и , и/или .

Перегруппировав результаты, получим

и/или и/или ,

и и .

III. 6.

III. 7. .

Функция принимает свои значения в интервале

а именно:

, где и ,

, где и .

Если , то принимает свои значения в интервале .

III.8. .

На этом и последующих рисунках десятичные числа 0,0; 0,1; 0,2; ... вписаны в виде 0; .1; .2; ...

Рис. 27,а.

Очевидно, что принимает свои значения в интервале . Теперь выпишем таблицу для функции :

Рис. 27,б.

Итак, функция принимает свои значения в .

III.9. 1)

Рис. 28.

III.10. Маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

Соответствующая сеть:

Рис. 29.

Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

Соответствующая сеть:

Рис. 30.

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма:

Соответствующая сеть:

Рис. 31.

Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма:

Соответствующая сеть:

Рис. 32.

III.11.

Рис. 33.

Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

Рис. 34.

Рис. 35.

Максимально простые маршруты:

Приведенная полиномиальная форма:

Рис. 36.

Рис. 37.

Максимально простые маршруты:

Приведенная полиномиальная форма:

Рис. 38.

Рис. 39.

Максимально простые маршруты:

Приведенная полиномиальная форма:

Рис. 40.

Глава IV

IV.2. Данный нечеткий группоид можно представить в виде (опуская символ нечеткости)

Рис. 41.

1) Если провести 64 проверки, то выяснится, что этот нечеткий группоид ассоциативный:

2) Группоид имеет единицу «».

Действительно,

3) Имеется только два подмоноида: и .

4) Для каждого элемента имеется обратный:

для - обратный : .

для - обратный : ,

для - обратный : .

Поскольку этот нечеткий группоид ассоциативный и обладает единицей, то это - моноид. Кроме того, поскольку каждый элемент обладает одним единственным обратным элементом, то этот группоид - нечетная группа.

IV.3. Операция есть дизъюнктивная сумма:

Действительно, по таблице находим:

Для универсума из трех элементов эта операция определяет следующую таблицу:

Рис. 42.

IV.4. 1. Этот группоид коммутативный, поскольку

Однако он не ассоциативный, в чем можно убедиться на примере. Пусть

, , .

Тогда

Чтобы существовал единичный элемент , нужно, чтобы

, т. е.

, а это тождество не выполняется.

Не обладая единичным элементом, этот нечеткий группоид не имеет и обратных элементов.

2. Те же выводы справедливы и для второго нечеткого группоида. Его коммутативность очевидна, однако покажем, что группоид не ассоциативен. Выберем следующие числовые значения:

, , ,

Остальные проверки проводятся так же, как и для первого группоида.

3. Этот закон композиции также коммутативный и неассоциативный. Для доказательства неассоциативности достаточно рассмотреть числовой пример:

, , .

Тогда и .

Однако единичный элемент, равный нулю, здесь существует, поскольку, если , то

, так как .

Наконец, если , то - элемент, обратный к . Равенство не обращается в тождество на интервале , оно справедливо только для 0 и 1.

Глава V

V.2. б) ,

V.3. a)

V.4. a)

Рис. 43.

б)

Рис. 44.

V.5. a)

Прежде чем описать закон полностью, проиллюстрируем, как он определяется:

Рис. 45.

Отметим, что каждая строка (каждый столбец) представляет собой перестановку элементов множества .

Этот закон ассоциативный, коммутативный, но не идемпотентный.

б) .

Рис. 46.

Закон ассоциативный, коммутативный, неидемпотентный.

V.6. а) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: и не имеют дополнений, не булева.

б) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: и не имеют дополнений, не булева.

в) Немодулярная: , ; недистрибутивная, с дополнениями, не булева.

г) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: и не имеют дополнений, не булева.

д) Модулярная, дистрибутивная, с дополнениями, булева.

е) Немодулярная: , ; недистрибутивная, с дополнениями, не булева.

ж) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: и не имеют дополнений, не булева.

з) Немодулярная: , ; недистрибутивная, без дополнений: и не имеют дополнений, не булева.

V.7. a) , б) , в) , г) , д) .

Решетка	а	б	в	г	д
Дистрибутивная	да	да	нет	да	нет
С дополнениями	нет	нет	нет	нет	да
Булева	нет	нет	нет	нет	нет
Векторная	да	нет	нет	да	нет
Лексикографическая	нет	нет	нет	нет	нет