Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


Ответы и решения

Глава 1

I.2. а) , , . б) , , , . в) , , , , . г) , , , , .

I.3. а)  при ;

.

б)  при ; .

Этот индекс нечеткости идентичен полученному в п. а), так как оба графика (см. рис. 1 и 2) симметричны.

375-1.jpg

Рис. 1.

375-2.jpg

Рис. 2.

в) Ниже представлен график функции . Из симметрии графика следует, что индекс нечеткости на  равен индексу нечеткости на , найденному в задаче б).

375-3.jpg

Рис.3.

Непосредственное вычисление подтверждает этот результат:

.

I.4. a) .

б) .

в) .

г) .

376-1.jpg

Рис. 4.

1.6. а) В каждом из этих случаев для доказательства того, что левая часть равна , сначала нужно выполнить операцию в скобках, а затем - вторую операцию. При этом следует рассмотреть случаи, когда характеристическое значение  меньше, равно или больше значения .

I.8. .

 

Глава II

II.1.

376-2.jpg

Рис. 5.

II.2.а) 1-я проекция: ,

2-я проекция: ,

глобальная проекция: .

II.3. 1. a)

.

II. a) . б) .

II.6.

377-1.jpg

Рис. 6.

II.7.

377-2.jpg

Рис. 7.

II.8. а) 0,62, б) при .

II.9. а)

378-1.jpg

Рис. 8.

II.10. 1. a) , , , , .

2. б) , , , , .

II.11. ,

.

II.12.

378-2.jpg

Рис. 9.

,

.

II.13.

379-1.jpg

Рис. 10.

Как видно из этой таблицы,  есть отношение предпорядка, а  - отношение подобия.

II.14. Последовательно рассчитываем объединение

379-2.jpg

Рис. 11.

II.15.

379-3.jpg

Рис. 12.

II.16.

380-1.jpg

Рис. 13.

Для двух последних отношений имеем

.

При получении этих транзитивных замыканий находим

 и .

II.17.

380-2.jpg

Рис. 14.

II.18. Нужно показать, что  - рефлексивное и (max-min)-транзитивное отношение.

II.19. Нужно показать, что эти отношения обладают свойствами рефлексивности, симметрии и (max-min)-транзитивности. Заметим, что здесь , .

II.20. Пусть  и  - два предпорядка.

Композиция  уже не будет предпорядком, так как это отношение не транзитивно. Рассмотрим конкретный пример:

.

По той же причине  не есть предпорядок.  не предпорядок, поскольку это отношение антирефлексивно.

381.jpg

Рис. 15.

И, наоборот,  представляет собой предпорядок. Сохранение рефлексивности очевидно. Проверим транзитивность. Имеем

.             (1)

.                        (2)

.

Требуется, чтобы

.

Во всех четырех возможных случаях сохраняется транзитивность:

 и ,

 и ,

 и ,

 и

II.21. Для поиска максимальных подотношений подобия в нечетком предпорядке  нужно рассмотреть соответствующую булеву матрицу :

, если ,

, если  или .

Найдем булевы матрицы для нечетких отношений предпорядка , ,  (рис. 16).

382.jpg

Рис. 16.

После того как эти квадратные симметричные матрицы получены, можно применить метод Пиша (см. приложение Б). Для отношения  можно обойтись и без дополнительных расчетов, так как в данном случае максимальные подотношения подобия выписываются непосредственно:

.

Проведем расчеты для :

Таким образом,  и  - максимальные подмножества. А так как они не пересекаются, то  и  - классы подобия.

Для  получаем

Максимальные подотношения  и  также не пересекаются и составляют два класса подобия.

II.22. Нечеткое отношение называется антисимметричным, если

 при :

 или .

Отношения ,  и  из упражнения II.13 антисимметричные.

Нечеткое отношение называется совершенно антисимметричным, если

 при :

.

В II.13 совершенно антисимметрично только отношение .

II.23. , ,  - это нечеткие отношения порядка, так как они рефлексивные, транзитивные и антисимметричные.

 и  - нечеткие отношения совершенного порядка, так как они рефлексивные, транзитивные и совершенно антисимметричные.

 - отношение полного порядка, так как соответствующий ему обычный граф представляет полный порядок.

 и  - отношения частичного порядка.

Ниже выписаны отношение  и соответствующий ему обычный граф.

383-1.jpg

Рис. 17.

II.24. Чтобы матрицу нечеткого отношения привести к треугольному виду, нужно сначала построить обычную матрицу, соответствующую этому отношению, а затем найти ее порядковую функцию. Для отношения  имеем:

383-2.jpg

Рис. 18.

II.25. Для  транзитивное замыкание и соответствующая булева матрица имеют вид

383-3.jpg

Рис. 19.

Теперь выпишем максимальные подотношения подобия.

384-1.jpg

Рис. 20.

Очевидно, что они не пересекаются. Блочно-треугольное представление отношения  невозможно, поскольку оно не антисимметрично.

Чтобы выделить классы подобия, перепишем матрицу  в виде

384-2.jpg

Рис. 21а.

Найдем матрицу  и соответствующую ей булеву матрицу так же, как это было сделано для отношения .

384-3.jpg

Рис. 21б.

Для выделения максимальных подотношений подобия в случае  нужно обратиться к алгоритму Пиша. Имеем

385-1.jpg

Рис. 22.

Эти четыре максимальных подотношения не дизъюнктны, точнее, хотя они и пересекаются, ни одно из них не содержится в другом. Блочно-треугольное представление  также невозможно, поскольку это отношение не антисимметричное.

II.26. Выпишем отношения подобия и различия для .

385-2.jpg

Рис. 23.

Очевидно, что эти отношения связаны условием .

Обозначим через  классы пар с заданным расстоянием . Имеем:

II.28. Вычисление относительных обобщенных расстояний Хемминга дает отношение несходства  согласно условию

,

где

- обобщенное расстояние Хемминга между  и .

(Min-max) - транзитивное замыкание , представляющее собой отношение различия, позволяет найти (min – max)-транзитивные расстояния и построить дерево декомпозиции.

Обычное (min-сложение)-замыканне  совпадает с .

386-1.jpg

Рис. 24.

386-2.jpg

Рис. 25.

Глава III

III.1.

III.2. Здесь помещена таблица значений только для функции двух нечетких переменных (знак нечеткости опущен). В соответствии с «антиполиндромной» нумерацией рассматривается восемь случаев. Для функции трех переменных потребуется рассмотреть 48 случаев.

387.jpg

Рис. 26.

III.3.

III.4.

III.5. .

Гипотеза 1: ; тогда ,

т. e.

.

Имеем

и

 ,

и

,

и/или

, .

Гипотеза 2: , тогда

,

т. е.

.

Имеем

 и ,  и/или .

Перегруппировав результаты, получим

 и/или ,

 и .

.

Гипотеза 1:  есть максимум.

, .

Имеем

 и , и  и/или .

Гипотеза 2:  есть максимум.

,

.

Имеем

 и , и  и/или .

Гилотеза 3:  есть максимум.

, .

Имеем

 и ,  и/или .

Перегруппировав результаты, получим

 и/или  и/или ,

 и  и .

III. 6.

,

III. 7.  .

.

Функция  принимает свои значения в интервале

,

а именно:

, где  и ,

, где  и ,

, где  и ,

, где  и .

Если , то  принимает свои значения в интервале .

III.8.  .

На этом и последующих рисунках десятичные числа 0,0; 0,1; 0,2; ... вписаны в виде 0; .1; .2; ...

389.jpg

Рис. 27,а.

Очевидно, что  принимает свои значения в интервале . Теперь выпишем таблицу для функции :

390-1.jpg

Рис. 27,б.

Итак, функция  принимает свои значения в .

III.9. 1)

390-2.jpg

Рис. 28.

III.10.  Маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

Соответствующая сеть:

390-3.jpg

Рис. 29.

 Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

Соответствующая сеть:

391-1.jpg

Рис. 30.

 Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма:

.

Соответствующая сеть:

391-2.jpg

Рис. 31.

 Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма:

.

Соответствующая сеть:

391-3.jpg

Рис. 32.

III.11.

392-1.jpg

Рис. 33.

Маршруты: .

Простые маршруты: .

Максимально простые маршруты: .

Приведенная полиномиальная форма: .

392-2.jpg

Рис. 34.

392-3.jpg

Рис. 35.

Максимально простые маршруты:

.

Приведенная полиномиальная форма:

.

392-4.jpg

Рис. 36.

 

392-5.jpg

Рис. 37.

Максимально простые маршруты:

.

Приведенная полиномиальная форма:

.

393-1.jpg

Рис. 38.

 

393-2.jpg

Рис. 39.

Максимально простые маршруты:

.

Приведенная полиномиальная форма:

.

393-3.jpg

Рис. 40.

Глава IV

IV.2. Данный нечеткий группоид можно представить в виде (опуская символ нечеткости)

394.jpg

Рис. 41.

1) Если провести 64 проверки, то выяснится, что этот нечеткий группоид ассоциативный:

.

2) Группоид имеет единицу «».

Действительно,

3) Имеется только два подмоноида:  и .

4) Для каждого элемента имеется обратный:

для  - обратный : .

для  - обратный : ,

для  - обратный : ,

для  - обратный : .

Поскольку этот нечеткий группоид ассоциативный и обладает единицей, то это - моноид. Кроме того, поскольку каждый элемент  обладает одним единственным обратным элементом, то этот группоид - нечетная группа.

IV.3. Операция  есть дизъюнктивная сумма:

.

Действительно, по таблице находим:

Для универсума из трех элементов эта операция определяет следующую таблицу:

395.jpg

Рис. 42.

IV.4. 1. Этот группоид коммутативный, поскольку

.

Однако он не ассоциативный, в чем можно убедиться на примере. Пусть

, , .

Тогда

,

.

Чтобы существовал единичный элемент , нужно, чтобы

, т. е.

, а это тождество не выполняется.

Не обладая единичным элементом, этот нечеткий группоид не имеет и обратных элементов.

2. Те же выводы справедливы и для второго нечеткого группоида. Его коммутативность очевидна, однако покажем, что группоид не ассоциативен. Выберем следующие числовые значения:

, , ,

.

Остальные проверки проводятся так же, как и для первого группоида.

3. Этот закон композиции также коммутативный и неассоциативный. Для доказательства неассоциативности достаточно рассмотреть числовой пример:

, , .

Тогда  и .

Однако единичный элемент, равный нулю, здесь существует, поскольку, если , то

 , так как .

Наконец, если , то  - элемент, обратный к . Равенство не обращается в тождество на интервале , оно справедливо только для 0 и 1.

 

Глава V

V.2. б) ,

.

V.3. a)

V.4. a)

396-1.jpg

Рис. 43.

б)

396-2.jpg

Рис. 44.

V.5. a)

Прежде чем описать закон полностью, проиллюстрируем, как он определяется:

.

397-1.jpg

Рис. 45.

Отметим, что каждая строка (каждый столбец) представляет собой перестановку элементов множества .

Этот закон ассоциативный, коммутативный, но не идемпотентный.

б) .

397-2.jpg

Рис. 46.

Закон ассоциативный, коммутативный, неидемпотентный.

V.6. а) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений:  и  не имеют дополнений, не булева.

б) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений:  и  не имеют дополнений, не булева.

в) Немодулярная: , ; недистрибутивная, с дополнениями, не булева.

г) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений:  и  не имеют дополнений, не булева.

д) Модулярная, дистрибутивная, с дополнениями, булева.

е) Немодулярная: , ; недистрибутивная, с дополнениями, не булева.

ж) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений:  и  не имеют дополнений, не булева.

з) Немодулярная: , ; недистрибутивная, без дополнений:  и  не имеют дополнений, не булева.

V.7. a) , б) , в) , г) , д) .

Решетка

а

б

в

г

д

Дистрибутивная

да

да

нет

да

нет

С дополнениями

нет

нет

нет

нет

да

Булева

нет

нет

нет

нет

нет

Векторная

да

нет

нет

да

нет

Лексикографическая

нет

нет

нет

нет

нет

V.9. Сначала для каждого отношения выпишем матрицу расстояний между вершинами графа отношения порядка.

398-1.jpg

Рис. 47.

398-2.jpg

Рис. 48.

398-3.jpg

Рис. 49.

Теперь можно вычислить обобщенные расстояния. Например,  и т. д.

В итоге получим

398-4.jpg

Рис. 50.

V.12. Универсум  включает три элемента ,  и . Перепишем эти элементы:

398-5.jpg

Рис. 51.

Если , число -нечетких -морфизмов составит .

V.13. а) Выпишем множество композиций  с .

Теперь для каждой пары  найдем значение  на . Затем для каждого  оценим :

И, наконец, .

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>