1.4. Представление  сигналов  в  виде рядов ортогональных функций

1.4.1. Разложение сигнала в системе функций

В теории и технике связи нередко приходится встречаться с достаточно сложными по своей форме сигналами и помехами. Для решения многих задач весьма полезно уметь представлять сложные сигналы в виде суммы более простых, хорошо изученных элементарных сигналов, описываемых функциями времени  [6, 32]:

.

(1.9)

Такое представление сложного сигнала в виде линейной комбинации заданных функций называют разложением.

Совокупность коэффициентов разложения  называют спектром сигнала, а систему функций  базисом разложения.

Произведение , где  простейший сигнал, а  его амплитуда называют спектральной составляющей.

Для того чтобы разложение сигнала (1.9) было выполнимо, базис разложения  должен обладать свойством ортонормированности (ортогональности и нормированности).

Две функции  и  ортогональны на интервале , если их скалярное произведение (интеграл от произведения)

,

(1.10)

при том условии, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю при заданных свойствах.

Свойство ортогональности функций обязательно связано с интервалом их определения, т.к. на другом интервале они могут уже быть неортогональны.

Из математики известно, что, если для любой пары функций из ортогональной системы (1.11) выполняется условие

,

(1.11)

то данная система функций система функций – ортонормированна (нормированна к 1).

Особое место при решении многих задач в теории связи занимает ряд Фурье, когда в качестве простых  выбирают гармонические колебания.

Представление сигнала  гармоническими функциями имеет следующие преимущества: простое математическое описание; инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; как и сигнал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; техника генерирования гармонических функций достаточно проста. Если разложение входного сигнала по ортогональной системе тригонометрических функций известно, то выходной сигнал может быть получен как сумма независимо преобразованных цепью входных гармоник.