1.4.3. Применение преобразования Фурье для непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов , заданных на конечном интервале (, ) (рис. 1.14), непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис. 1.14).

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе, при увеличении периода  все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами.

,	(1.17)
.	(1.18)

При таком предельном переходе основная частота сигнала  стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник  и  становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.

Формулы (1.17) и (1.18) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье. Они дают взаимосвязь между сигналом  и его комплексной спектральной плотностью .

Представим спектральную плотность в показательной форме:

,

где    – модуль , который называют спектральной плотностью амплитуд, или амплитудным спектром;  – аргумент , называемый фазовым спектром сигнала. По определению, модуль  – четная функция частоты, а аргумент  – нечетная функция.

Пример 1.2. Найти спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса  четного относительно , длительностью  и с амплитудой  (1.15, а).

Запишем аналитическое выражение для заданного видеоимпульса:

.

Тогда спектральную плотность импульса находим по формуле (1.18):

.

Это выражение с учетом формулы Эйлера  можно переписать в виде:

.

(1.19)

Отсюда следует, что спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса, четного относительно t=0, вещественная. Фазовый спектр

.

(1.20)

Рассчитанные по формулам (1.19) и (1.20) амплитудный и фазовый спектры прямоугольного видеоимпульса изображены на рис. 1.15.

Следует отметить, что нули амплитудного спектра определяются длительностью импульса. При удлинении импульса расстояние между нулями  сокращается, что равносильно сужению спектра. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции  увеличивается, спектр расширяется.

Спектральный метод является одним из основных при расчетах линейных электрических цепей. Знание спектра сигнала позволяет правильно рассчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильтров и других элементов каналов связи. Это необходимо для осуществления неискаженной передачи сигнала для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.