5.3.4. Векторное пространство

Определение вектора

Вектором называется упорядоченное множество из  элементов поля, обозначаемое как . Величины  называются компонентами (координатами) вектора. Число компонентов вектора  называется длиной вектора. Векторы считаются равными, если равны их соответствующие компоненты. Число ненулевых компонентов вектора называют весом вектора [33].

Сложение двух векторов длины  определяется следующим образом:

.

Умножение элемента поля на вектор производится покомпонентно:

,

причем сложение и умножение компонентов векторов происходит по правилам сложения и умножения в поле .

Для векторов введено понятие нормы [25, 33], которая для вектора  определяется как , где символ  означает суммирование в поле действительных чисел. Если компоненты вектора принадлежат двоичному полю, то норма вектора совпадает с числом его ненулевых компонентов, т.е. с его весом.

Вектор , где  – элементы поля, называют линейной комбинацией векторов . Векторы  называются линейно зависимыми, если в  существуют такие элементы , по крайней мере один из которых не равен нулю, такие что  и линейно независимыми в противном случае. Если векторы линейно зависимы, то любой из них может быть выражен через линейную комбинацию остальных.

Определение векторного пространства

Множество  называется векторным пространством, если для него выполняются следующие аксиомы:

V. 1. Множество  является аддитивной абелевой группой.

V.2. Для любого вектора  и любого скаляра – элемента  поля  определено произведение , являющееся вектором. Это произведение определено так, что , где  – единичный элемент поля .

V.3. Выполняются законы дистрибутивности

и ,

где    – скаляры, а  и  – векторы.

V.4. Выполняется закон ассоциативности

,

где    – скаляры, а  – вектор.

 

Свойства векторного пространства

1. Максимальное число линейно независимых векторов в  называется размерностью пространства  над полем .

2. Совокупность  любых линейно независимых векторов называется базисом и-мерного пространства, если каждый из векторов пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Векторы совокупности называются базисными.

3. Подмножество  векторного пространства  такое, что любая линейная комбинация векторов этого подмножества снова принадлежит , называется подпространством пространства . Легко проверить, что все векторы подпространства удовлетворяют аксиомам V.1 – V.4. Очевидно, что размерность подпространства не превышает размерности пространства, т.к. во всем пространстве содержится не более  линейно независимых векторов. Каждое подпространство можно рассматривать как самостоятельное пространство. Следовательно, каждое подпространство имеет свой базис.

4. Скалярным произведением двух векторов одинаковой длины :  и  называется скаляр, определяемый как

.

Можно показать, что  и .

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то говорят, что эти векторы ортогональны. Два пространства называются взаимно ортогональными, если каждый вектор одного пространства ортогонален любому вектору другого пространства.

Множество всех векторов пространства , ортогональных подпространству , образуют подпространство  пространства . Подпространство  часто называют нулевым пространством для .

Можно показать, что если  – подпространство размерности  -мерного векторного пространства , то размерность нулевого пространства равна .

5. Для векторного пространства определено понятие расстояния между двумя векторами, которое совпадает с нормой разности этих векторов

,

где суммирование производится в поле действительных чисел.