5.5. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема

5.5.1. Методы задания кодов БЧХ

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) составляют один из больших классов линейных кодов, исправляющих ошибки. Причем метод построения этих кодов задан явно.

Код БЧХ длины , исправляющий -кратные ошибки, это циклический блочный код над полем , корнями порождающего многочлена которого являются , где  – элемент конечного поля ;  – целое число.

В соответствии с этим определением и выражением (5.21) порождающий многочлен кода БЧХ может быть представлен наименьшим общим кратным

,

где    – минимальные многочлены элементов .

Доказано [30, 33], что наличие  корней полинома , указанных в определении кода, гарантирует исправление всех ошибок кратности, меньшей или равной .

Основное внимание обратим на коды БЧХ, имеющие длину . Такие коды называются примитивными кодами БЧХ.

Часто выбирают  (случай кодов БЧХ в узком смысле), что, как правило, приводит к порождающему полиному наименьшей степени, а значит, и к наименьшему числу избыточных символов в кодовом слове. Кроме того, целесообразно выбрать  ( – примитивный элемент поля , поскольку при этом получается наибольшая длина кодового слова. Список порождающих многочленов кодов БЧХ различных длин (вплоть до ) имеется, например, в [26].

Построенные таким образом коды БЧХ, исправляющие как минимум -кратные ошибки, характеризуются конструктивным расстоянием кода . Истинное минимальное расстояние  кода БЧХ может оказаться больше, чем . Это означает, что ряд кодов БЧХ может исправлять ошибки кратности большей, чем та, которую задают при построении этого кода.

Найдем проверочную матрицу двоичного циклического кода БЧХ, исправляющего -кратные ошибки. Учитывая свойство равенства минимальных многочленов с номерами  и  (см. 5.3.5), степень порождающего многочлена  может быть снижена. Действительно, если, например, , порождающий многочлен примет вид

.

(5.25)

При этом проверочная матрица

.

(5.26)

Сравнивая эту матрицу с матрицей (5.19) кода Хэмминга, видим, что код Хэмминга представляет собой частный случай примитивного кода БЧХ, исправляющего однократные ошибки .

Представляет интерес воспользоваться возможностью описания кодов БЧХ в спектральной области (см. 5.4.5). Как следует из свойств дискретного преобразования Фурье, спектры слов циклического кода БЧХ должны содержать нулевые компоненты с номерами .

Таким образом, циклический код БЧХ, исправляющий -кратные ошибки, можно определить как множество всех слов над полем , для которых  последовательных компонентов спектра равна нулю. Указанное свойство кодов БЧХ используется при их декодировании.

К особенностям кодов БЧХ можно отнести тот факт, что с ростом длины  кода при фиксированном значении скорости кода  отношение  стремится к нулю. В результате, несмотря на наличие у кодов БЧХ отмеченных положительных свойств, при больших длинах  приходится отдавать предпочтение другим кодам [3, 30].