ГЛАВА 19 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

19.1. Предмет теории массового обслуживания

За последние десятилетия в самых разных областях практики возникла необходимость в решении своеобразных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания. Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, парикмахерские и т. п. Каждая такая система состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые мы будем называть «каналами» обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи; лица, выполняющие те ли иные операции; различные приборы и т. п. Системы массового обслуживания могут быть как одно-, так и многоканальными.

Работа любой системы массового обслуживания состоит в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные, моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории массового обслуживания - установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и успешностью (эффективностью) обслуживания. В качестве характеристик эффективности обслуживания - в зависимости от условий задачи и целей исследования - могут применяться различные величины и функции, например: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; закон распределения длины очереди и т. д. Каждая из этих характеристик описывает, с той или другой стороны, степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, иными словами - ее пропускную способность.

Под «пропускной способностью» в узком смысле слова обычно понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Наряду с нею часто рассматривают относительную пропускную способность - среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных. Пропускная способность (как абсолютная, так и относительная) в общем случае зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок. Если бы заявки поступали регулярно, через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки тоже имело строго определенную длительность, расчет пропускной способности системы не представлял бы никакой трудности. На практике обычно моменты поступления заявок случайны; по большей части случайна и длительность обслуживания заявки. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно: в потоке заявок образуются местные сгущения и разрежения. Сгущения могут привести либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разрежения могут привести к непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных заявок. Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном смысле слова. Многие задачи автоматизации производства оказываются близкими к теории массового обслуживания: потоки деталей, поступающих для выполнения над ними различных операций, могут рассматриваться как «потоки заявок», ритмичность поступления которых нарушается за счет случайных причин. Своеобразные задачи теории массового обслуживания возникают в связи с проблемой организации транспорта и системы сообщений. Близкими к теории массового обслуживания оказываются и задачи, относящиеся к надежности технических устройств: такие их характеристики, как среднее время безотказной работы, потребное количество запасных деталей, среднее время простоя в связи с ремонтом и т. д., определяются методами, непосредственно заимствованными из теории массового обслуживания.

Проблемы, родственные задачам массового обслуживания, постоянно возникают в военном деле. Каналы наведения, линии связи, аэродромы, устройства для сбора и обработки информации представляют собой своеобразные системы массового обслуживания со своим режимом работы и пропускной способностью.

Трудно даже перечислить все области практики, в которых находят применение методы теории массового обслуживания. За последние годы она стала одной из самых быстро развивающихся ветвей теории вероятностей.

В настоящей главе будут изложены некоторые элементарные сведения по теории массового обслуживания, знание которых необходимо любому инженеру, занимающемуся вопросами организации в области промышленности, народного хозяйства, связи, а также в военном деле.