19.4 Нестационарный пуассоновский поток

Если поток событий нестационарен, то его основной характеристикой является мгновенная плотность . Мгновенной плотностью потока называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный участок времени , к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю:

,                        (19.4.1)

где  - математическое ожидание числа событий на участке .

Рассмотрим поток однородных событий, ординарный и без последействия, но не стационарный, с переменной плотностью . Такой поток называется нестационарным пуассоновским потоком. Это - первая ступень обобщения по сравнению с простейшим потоком. Легко показать методом, аналогичным примененному в 5.9, что для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке , подчиняется закону Пуассона

                ,                       (19.4.2)

где  - математическое ожидание числа событий на участке от  до  равное

.                      (19.4.3)

Здесь величина  зависит не только от длины  участка, но и от его положения на оси .

Найдем для нестационарного потока закон распределения промежутка времени  между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси  расположено первое из событий. Кроме того, он будет зависеть от вида функции . Предположим, что первое из двух соседних событий появилось в момент , и найдем при этом условии закон распределения времени  между этим событием и последующим:

.

Найдем  - вероятность того, что на участке от  до  не появится ни одного события:

,

откуда

.                      (19.4.4)

Дифференцируя, найдем плотность распределения

   .                       (19.4.5)

Этот закон распределения уже не будет показательным. Вид его зависит от параметра  и вида функции . Например, при линейном изменении

плотность (19.4.5) имеет вид

.               (19.4.6)

График этого закона при ;  и  представлен на рис. 19.4.1.

Рис. 19.4.1.

Несмотря на то, что структура нестационарного пуассоновского потока несколько сложнее, чем простейшего, он очень удобен в практических применениях: главное свойство простейшего потока - отсутствие последействия - в нем сохранено. А именно, если мы зафиксируем на оси  произвольную точку , то закон распределения  времени , отделяющего эту точку от ближайшего по времени будущего события, не зависит от того, что происходило на участке времени, предшествующем , и в самой точке  (т. е. появлялись ли ранее другие события и когда именно).