19.6. Время обслуживания

Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы системы зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов  и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки . Эта величина может быть как неслучайной, так и случайной. Очевидно, более общим является случайное время обслуживания.

Рассмотрим случайную величину  и обозначим  ее функцию распределения:

,                  (19.6.1)

a  - плотность распределения:

.               (19.6.2)

Для практики особый интерес представляет случай, когда величина  имеет показательное распределение

  ,                       (19.6.3)

где параметр  - величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки:

,  .                (19.6.4)

Особая роль, которую играет в теории массового обслуживания показательный закон распределения величины , связана с тем свойством этого закона, которое было доказано в  19.4. В применении к данному случаю оно формулируется так: если в какой-то момент  происходит обслуживание заявки, то закон распределения оставшегося времени обслуживания не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось.

На первый взгляд допущение о том, что время обслуживания распределено по показательному закону, представляется довольно искусственным. В ряде практических задач кажется естественнее предположить его либо совсем не случайным, либо распределенным по нормальному закону. Однако существуют условия, в которых время обслуживания действительно распределяется по закону, близкому к показательному.

Это, прежде всего, все задачи, в которых обслуживание сводится к ряду «попыток», каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то вероятностью .

Пусть, например, «обслуживание» состоит в обстреле какой-то цели и заканчивается в момент ее поражения. Обстрел ведется независимыми выстрелами с некоторой средней скорострельностью  выстрелов в единицу времени. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью . Чтобы не связывать себя необходимостью точного учета момента каждого выстрела, предположим, что они происходят в случайные моменты времени и образуют простейший поток  с плотностью  (рис. 19.6.1).

Рис. 19.6.1.

Выделим мысленно из этого потока другой - поток «успешных», или «поражающих», выстрелов (они отмечены кружками на рис. 19.6.1). Выстрел будем называть «успешным», если он приводит к поражению цели (если только цель не была поражена ранее). Нетрудно убедиться, что успешные выстрелы тоже образуют простейший поток  с плотностью  (исходный поток  - простейший, а каждый выстрел может стать поражающим, независимо от других, с вероятностью ). Вероятность того, что цель будет поражена до момента , будет равна

,

откуда плотность распределения времени «обслуживания»

,

а это есть показательный закон с параметром .

Показательным законом распределения времени обстрела до поражения цели можно приближенно пользоваться и в случае, когда выстрелы не образуют простейшего потока, а отделены, например, строго определенными промежутками времени , если только вероятность поражения одним выстрелом  не очень велика. Для иллюстрации приведем на одном и том же графике (рис. 19.6.2) функцию распределения момента поражающего выстрела (ступенчатая линия) для случая ,  и функцию распределения показательного закона с параметром  (плавная кривая).

Рис. 19.6.2.

Как видно на рис. 19.6.2, непрерывное показательное распределение хорошо соответствует характеру нарастания функции распределения для дискретного случая. Естественно, если моменты выстрелов не будут строго определенными, соответствие с показательным законом будет еще лучше.

Случай стрельбы - не единственный, когда обслуживание осуществляется рядом «попыток». К такому типу часто можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических устройств, когда поиски неисправной детали или узла осуществляются рядом тестов или проверок. К такому же типу можно отнести задачи, где «обслуживание» заключается в обнаружении какого-либо объекта радиолокатором, если объект с какой-то вероятностью может быть обнаружен при каждом цикле обзора.

Показательным законом хорошо описываются и те случаи, когда плотность распределения времени обслуживания по тем или иным причинам убывает при возрастании аргумента . Это бывает, когда основная масса заявок обслуживается очень быстро, а значительные задержки в обслуживании наблюдаются редко. Рассмотрим, например, окно почтового отделения, где продаются марки и конверты, а также принимаются почтовые отправления и переводы. Основная масса посетителей покупает марки или конверты и обслуживается очень быстро. Реже встречаются заявки на отправление заказных писем, они обслуживаются несколько дольше. Переводы посылаются еще реже и обслуживаются еще дольше. Наконец, в самых редких случаях представители организаций отправляют сразу большое количество писем. Гистограмма распределения времени обслуживания имеет вид, представленный на рис. 19.6.3.

Рис. 19.6.3.

Так как плотность распределения убывает с возрастанием , можно без особой погрешности выровнять распределение с помощью показательного закона, подобрав соответствующим образом его параметр .

Разумеется, показательный закон не является универсальным законом распределения времени обслуживания. Часто время обслуживания лучше описывается, например, законом Эрланга. Однако, к счастью, пропускная способность и другие характеристики системы массового обслуживания сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят, главным образом, от его среднего значения . Поэтому в теории массового обслуживания чаще всего пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону. Эта гипотеза позволяет сильно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач массового обслуживания, и, в ряде случаев, получить простые аналитические формулы для характеристик пропускной способности системы.