19.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга

Системы массового обслуживания делятся на два основных типа: а) системы с отказами, б) системы с ожиданием.

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал. В настоящем  мы рассмотрим систему с отказами как наиболее простую.

Пусть имеется -канальная система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему  с конечным множеством состояний:

 - свободны все каналы,

 - занят ровно один канал,

……………

 - занято ровно  каналов,

……………

 - заняты все  каналов.

Схема возможных переходов дана на рис. 19.8.1.

Рис. 19.8.1.

Поставим задачу: определить вероятности состояний системы   для любого момента времени . Задачу будем решать при следующих допущениях:

1) поток заявок - простейший, с плотностью

2) время обслуживания  - показательное, с параметром

. .           (19.8.1)

Заметим, что параметр  в формуле (19.8.1) полностью аналогичен параметру  показательного закона распределения промежутка  между соседними событиями простейшего потока:

   .           (19.8.2)

Параметр  имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину  можно истолковать как «плотность потока освобождений» занятого канала. Действительно, представим себе канал, непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда, очевидно, в этом канале будет идти простейший поток освобождений с плотностью .

Так как оба потока - заявок и освобождений - простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности

.             (19.8.3)

Очевидно, для любого момента времени

.              (19.8.4)

Составим дифференциальные уравнения для всех вероятностей (19.8.3), начиная с . Зафиксируем момент времени  и найдем вероятность  того, что в момент  система будет находиться в состоянии  (все каналы свободны). Это может произойти двумя способами (рис. 19.8.2):

Рис. 19.8.2.

 - в момент  система находилась в состоянии , а за время  не перешла из нее в  (не пришло ни одной заявки),

 - в момент  система находилась в состоянии , а за время  канал освободился, и система перешла в состояние .

Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из  в  через ) за малый промежуток времени можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с  и .

По теореме сложения вероятностей имеем

.                 (19.8.5)

Найдем вероятность события  по теореме умножения. Вероятность того, что в момент  система была в состоянии , равна . Вероятность того, что за время  не придет ни одной заявки, равна . С точностью до величин высшего порядка малости

.                     (19.8.6)

Следовательно,

.

Найдем . Вероятность того, что в момент  система была в состоянии , равна . Вероятность того, что за время  канал освободится, равна  с точностью до малых величин высшего порядка

.

Следовательно,

.

Отсюда

.

Перенося  в левую часть, деля на  и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение для :

.               (19.8.7)

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний.

Возьмем любое  и найдем вероятность  того, что в момент  система будет в состоянии  (рис. 19.8.3).

Рис. 19.8.3.

Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по числу стрелок, направленных в состояние ):

 - в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  не перешла из него ни в , ни в  (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);

 - в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  перешла в  (пришла одна заявка);

 - в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  один из каналов освободился.

Найдем . Вычислим сначала вероятность того, что за время  не придет ни одна заявка и не освободится ни один из каналов:

.

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем

,

откуда

.

Аналогично

,

и

.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для  :

.

Составим уравнение для последней вероятности  (рис. 19.8.4).

Рис. 19.8.4.

Имеем

,

где  - вероятность того, что за время  не освободится ни один канал;  - вероятность того, что за время  придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для :

.

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей :

(19.8.8)

Уравнения (19.8.8) называются уравнениями Эрланга. Интегрирование системы уравнений (19.8.8) при начальных условиях

; 

(в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость  для любого . Вероятности  характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности,  есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , застанет все каналы занятыми (получит отказ):

.

Величина  называется относительной пропускной способностью системы. Для данного момента  это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

Система линейных дифференциальных уравнений (19.8.8) сравнительно легко может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов .

Заметим, что при выводе уравнений (19.8.8) мы нигде не пользовались допущением о том, что величины  и  (плотности потока заявок и «потока освобождений») постоянны. Поэтому уравнения (19.8.8) остаются справедливыми и для зависящих от времени , , лишь бы потоки событий, переводящих систему из состоянии в состояние, оставались пуассоновскимн (без этого процесс не будет марковским).