19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди

В предыдущем мы рассмотрели систему массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее заявок; если же число заявок в очереди равно (больше оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания - оставим прежними.

Итак, имеется -канальная система с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом . Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать ( обслуживаемых и стоящих в очереди). Перечислим состояния системы:

- все каналы свободны, очереди нет,

- занят один канал, очереди нет,

………

- занято каналов, очереди нет,

………

- занято каналов, очереди нет,

- заняты все каналов, очереди нет,

- заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

- заняты все каналов, заявок стоит в очереди.

Очевидно, первые уравнений для вероятностей будут совпадать с уравнениями Эрланга (19.8.8). Выведем остальные уравнения. Имеем

откуда

Далее выведем уравнение для

откуда

Последнее уравнение будет

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений:

(19.11.1)

Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений

(19.11.2)

и добавочное условие:

. (19.11.3)

Уравнения (19.11.2) могут быть решены так же, как мы решили аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих . Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:

, (19.11.4)

. (19.11.5)

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности того, что в очереди уже стоят заявок.

Нетрудно заметить, что формулы (19.11.4) и (19.11.5) получаются из формул (19.10.11), (19.10.12), если положить в них и ограничить суммирование по верхней границей .

Пример. На станцию текущего ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью (машины в час). Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины (часа). Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта.

Решение. Имеем: , , , .

а) По формуле (19.11.5), полагая , находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:

Относительная пропускная способность системы . Абсолютная пропускная способность: (машины в час).

б) Средняя доля времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (19.11.4): .

в) Полагая , найдем:

(т. е. удовлетворяться будет около 98% всех заявок).

(машины в час).

Относительное время простоя: , т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.