4.2. Общая теорема о повторении опытовЧастная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или не появиться некоторое событие Обозначим по-прежнему причем в каждое из произведений событие Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим: т.е. искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которых буквы Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения из или короче
где Зададимся целью найти в этом произведении биномов коэффициент при Функция Пользуясь понятием производящей функции, можно сформулировать теорему о повторении опытов в следующем виде. Вероятность того, что событие
где Вышеприведенная формулировка общей теоремы о повторении опытов, в отличие от частной теоремы, не дает явного выражения для вероятности
Левая и правая части равенства (4.2.1) представляют собою одну и ту же производящую функцию как коэффициенты соответственно при нулевой, первой и т.д. степенях Очевидно, частная теорема о повторении опытов вытекает из общей при В этом случае производящая функция обращается в
Раскрывая это выражение по формуле бинома, имеем:
откуда следует формула (4.1.1). Отметим, что, как в общем, так и в частном случае, сумма всех вероятностей
Это следует, прежде всего, из того, что события Во многих случаях практики, кроме вероятности Обозначим
откуда, по теореме сложения,
или короче
При вычислении
Пример 1. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно
Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:
Решение. Составляем производящую функцию: откуда
Пример 2. Производится 4 независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания p есть средняя из вероятностей
Найти вероятности
Решение. По формуле (4.1.1) имеем: Пример 3. Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций друг от друга перерыв связи с каждой из них происходит независимо от остальных с вероятностью Решение. Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет нарушена связь не менее, чем стремя станциями. По формуле (4.2.3) получим: Пример 4. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян. Решение. Вероятность потери хотя бы одного объекта
но несравненно проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть её из единицы:
Пример 5. Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 6 из них. Каждый из элементов за время работы прибора Решение. Для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов. По формуле (4.2.4) имеем:
Пример 6. Производится 4 независимых выстрела с самолета по самолету. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Для поражения (выхода из строя) самолета заведомо достаточно двух попаданий; при одном самолет поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что самолет будет поражен. Решение. Задача решается по формуле полной вероятности. Можно было бы рассмотреть гипотезы
и находить вероятность события А – поражения самолета – с помощью этих четырех гипотез. Однако значительно проще рассмотреть всего две гипотезы:
и вычислять вероятность события Имеем: Следовательно,
откуда
|