6.2. Моменты нормального распределения

Выше мы доказали, что математическое ожидание случайной величины, подчиненной нормальному закону (6.1.1), равно , а среднее квадратическое отклонение равно .

Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка.

По определению:

.

Делая замену переменной

,

получим:

.            (6.2.1)

Применив к выражению (6.2.1) формулу интегрирования по частям:

.

Имея в виду, что  первый член внутри скобок равен нулю, получим:

 

.         (6.2.2)

Из формулы (6.2.1) имеем следующее выражение для :

.           (6.2.3)

Сравнивая правые части формул (6.2.2) и (6.2.3), видим, что они отличаются между собой только множителем ; следовательно,

.             (6.2.4)

Формула (6.2.4) представляет собой простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать моменты высших порядков через моменты низших порядков. Пользуясь этой формулой и имея в виду, что  и , можно вычислить центральные моменты всех порядков. Так как , то из формулы (6.2.4) следует, что все нечетные моменты нормального распределения равны нулю. Это, впрочем, непосредственно следует из симметричности нормального закона.

Для четных  из формулы (6.2.4) вытекают следующие выражения для последовательных моментов:

и т.д.

Общая формула для момента -го порядка при любом четном  имеет вид:

,

где под символом  понимается произведение всех нечетных чисел от 1 до .

Так как для нормального закона , то асимметрия его также равна нулю:

.

Из выражения четвертого момента

имеем:

,

т.е. эксцесс нормального распределения равен нулю. Это и естественно, так как назначение эксцесса – характеризовать сравнительную крутость данного закона по сравнению с нормальным.