Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


8.7. Система произвольного числа случайных величин

На практике часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Эти системы интерпретируются как случайные точки или случайные векторы в пространстве того или иного числа измерений.

Приведем примеры.

1. Точка разрыва дистанционного снаряда в пространстве характеризуется тремя декартовыми координатами  или тремя сферическими координатами .

2. Совокупность  последовательных измерений изменяющейся величины  - система  случайных величин .

3. Производится стрельба очередью из  снарядов. Совокупность координат  точек попадания на плоскости - система  случайных величин (абсцисс и ординат точек попадания):

.

4. Начальная скорость осколка - случайный вектор, характеризуемый тремя случайными величинами: величиной скорости  и двумя углами  и , определяющими направление полета осколка в сферической системе координат.

Полной характеристикой системы произвольного числа случайных величин служит закон распределения системы, который может быть задан  функцией распределения или плотностью распределения.

Функцией распределения системы  случайных величин  называется вероятность совместного выполнения  неравенств вида :

.                        (8.7.1)

Плотностью распределения системы  непрерывных случайных величин называется -я смешанная частная производная функции , взятая один раз по каждому аргументу:

.                                                                             (8.7.2)

Зная закон распределения системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения положить все остальные аргументы равными :

.                                                                                         (8.7.3)

Если выделить из системы величин  частную систему , то функция распределения этой системы определяется по формуле

.                                       (8.7.4)

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам:

.                                                    (8.7.5)

Плотность распределения частной системы , выделенной из системы , равна:

                                            (8.7.0)

Условным законом распределения частной системы  называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что остальные величины   приняли значения .

Условная плотность распределения может быть вычислена по формуле

                                      (8.7.7)

Случайные величины  называются независимыми, если закон распределения каждой частной системы, выделенной из системы , не зависит от того, какие значения приняли остальные случайные величины.

Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему:

                                                    (8.7.8)

Вероятность попадания случайной точки  в пределы -мерной области  выражается -кратным интегралом:

.                                         (8.7.9)

Формула (8.7.9) по существу является основной формулой для вычисления вероятностей событий, не сводящихся к схеме случаев. Действительно, если интересующее нас событие  не сводится к схеме случаев, то его вероятность не может быть вычислена непосредственно. Если при этом нет возможности поставить достаточное число однородных опытов и приближенно определить вероятность события  по его частоте, то типичная схема вычисления вероятности события сводится к следующему. Переходят от схемы событий к схеме случайных величин (чаще всего - непрерывных) и сводят событие  к событию, состоящему в том, что система случайных величин  окажется в пределах некоторой области . Тогда вероятность события  может  быть  вычислена по формуле (8.7.9).

Пример 1. Самолет поражается дистанционным снарядом при условии, если разрыв снаряда произошел не далее чем на расстоянии  от самолета (точнее, от условной точки на оси самолета, принимаемой за его центр). Закон распределения точек разрыва дистанционного снаряда в системе координат, связанной с целью, имеет плотность . Определить вероятность поражения самолета.

Решение. Обозначая поражение самолета буквой , имеем:

,

где интегрирование распространяется по шару  радиуса  с центром в начале координат.

Пример 2. Метеорит, встретившийся на пути искусственного спутника Земли, пробивает его оболочку, если: 1) угол , под которым метеорит встречается с поверхностью спутника, заключен в определенных пределах ; 2) метеорит имеет вес не менее  (г) и 3) относительная скорость встречи метеорита со спутником меньше  (м/сек). Скорость встречи , вес метеорита  и угол встречи  представляют собой систему случайных величин с плотностью распределения . Найти вероятность  того, что отдельный метеорит, попавший в спутник, пробьет его оболочку.

Решение. Интегрируя плотность распределения  по трехмерной области, соответствующей пробиванию оболочки, получим:

,

где  - максимальный вес метеорита,  - максимальная скорость встречи.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>