9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть случайная точка  на плоскости подчинена нормальному закону

                                                (9.3.1)

Рис. 9.3.1.

При этом главные оси рассеивания параллельны координатным осям и величины  и  независимы.

Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки  в прямоугольник , стороны которого параллельны координатным осям , а, следовательно, и главным осям рассеивания (рис. 9.3.1). Согласно общей формуле (8.3.4) имеем:

.

откуда, применяя формулу (6.3.3) для вероятности попадания на участок, находим:

,   (9.3.2)

где  - нормальная функция распределения.

Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то , и формула (9.3.2) принимает вид

.                (9.3.3)

Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям, то формулы (9.3.2) и (9.3.3) уже неприменимы. Только при круговом рассеивании вероятность попадания в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формуле (9.3.2) или (9.3.3).

Формулы (9.3.2) и (9.3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, близкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближенно заменяемые таковыми.

Пример. Производится стрельба с самолета по прямоугольному щиту размером  лежащему на земле горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направлении , в боковом направлении . Прицеливание – по центру мишени, заход – вдоль мишени. Вследствие несовпадения дальности пристрелки и дальности  фактической стрельбы средняя точка попадания смещается в сторону недолета на . Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Рис. 9.3.2.

Решение. На чертеже (рис. 9.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т.п.) и центр рассеивания (ц.р.). Через ц.р. проводим главные оси рассеивания: по направлению полета и перпендикулярно к нему.

Перейдем от главных вероятных отклонений  и  к главным средним квадратическим:

.

По формуле (9.3.3) имеем:

.