12.4. Закон распределения функции двух случайных величин

Задача определения закона распределения функции нескольких случайных аргументов значительно сложнее аналогичной задачи для функции одного аргумента. Здесь мы изложим общий метод решения этой задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных величин  с плотностью распределения . Случайная величина  связана с  и  функциональной зависимостью:

.

Требуется найти закон распределения величины .

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией аналогичной той, которую мы применяли в случае одного аргумента. Функция  изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 12.4.1).

Рис. 12.4.1.

Найдем функцию распределения величины :

.                          (12.4.1)

Проведем плоскость , параллельную плоскости , на расстоянии  от нее. Эта плоскость пересечет поверхность  по некоторой кривой . Спроектируем кривую  на плоскость . Эта проекция, уравнение которой , разделит плоскость  на две области; для одной из них высота поверхности над плоскостью  будет меньше, а для другой - больше . Обозначим  ту область, для которой эта высота меньше . Чтобы выполнялось неравенство (12.4.1), случайная точка , очевидно, должна попасть в область ; следовательно,

.                (12.4.2)

В выражение (12.4.2) величина  входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя  по , получим плотность распределения величины :

.

Зная конкретный вид функции , можно выразить пределы интегрирования через  и написать выражение  в явном виде.

Для того чтобы найти закон распределения функции двух аргументов, нет необходимости каждый раз строить поверхность , подобно тому, как это сделано на рис. 12.4.1, и пересекать ее плоскостью, параллельной . На практике достаточно построить на плоскости  кривую, уравнение которой , отдать себе отчет в том, по какую сторону этой кривой , а по какую , и интегрировать по области , для которой .

Пример. Система величин  подчинена закону распределения с плотностью . Величина  есть произведение величин :

.

Найти плотность распределения величины .

Решение. Зададимся некоторым значением  и построим на плоскости  кривую, уравнение которой  (рис. 12.4.2). Это - гипербола, асимптоты которой совпадают с осями координат. Область  на рис. 12.4.2 заштрихована.

Рис. 12.4.2.

Функция распределения величины  имеет вид:

.

Дифференцируя это выражение по , имеем:

.  (12.4.3)