12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов
Дана система случайных величин
, подчиненная нормальному
закону распределения (или, короче, «распределенная формально»); случайная
величина
представляет
собой линейную функцию этих величин:
. (12.7.1)
Требуется
найти закон распределения величины
.
Нетрудно убедиться, что это
нормальный закон. Действительно, величина
представляет собой сумму линейных
функций, каждая из которых зависит от одного нормально распределенного
аргумента
, а
выше было доказано, что такая линейная функция также распределена нормально.
Складывая несколько нормально распределенных случайных величин, мы снова
получим величину, распределенную нормально.
Остается найти параметры величины
- центр
рассеивания
и
среднее квадратическое отклонение
. Применяя теоремы о математическом
ожидании и дисперсии линейной функции, получим:
, (12.7.2)
, (12.7.3)
где
- коэффициент
корреляции величин
.
В случае, когда величины
некоррелированы (а
значит, при нормальном законе, и независимы), формула (12.7.3) принимает вид:
. (12.7.4)
Средние квадратические отклонения
в формулах (12.7.3) и (12.7.4) могут быть заменены пропорциональными им
вероятными отклонениями.
На практике часто встречается
случай, когда законы распределения случайных величин
, входящих в формулу (12.7.1), в
точности не известны, а известны только их числовые характеристики:
математические ожидания и дисперсии. Если при этом величины
независимы, а их число
достаточно велико, тo, как правило, можно утверждать,
что, безотносительно к виду законов распределения величин
, закон распределения величины
близок к нормальному.
На практике для получения закона распределения, который приближенно может быть
принят за нормальный, обычно оказывается достаточным наличие
слагаемых в выражении
(12.7.1). Следует оговориться, что это не относится к случаю, когда дисперсия
одного из слагаемых в формуле (12.7.1) подавляюще велика по сравнению со всеми
другими; предполагается, что случайные слагаемые в сумме (12.7.1) по своему
рассеиванию имеют примерно один и тот же порядок. Если эти условия соблюдены,
то для величины
может
быть приближенно принят нормальный закон с параметрами, определяемыми формулами
(12.7.2) и (12.7.4).
Очевидно, все вышеприведенные
соображения о законе распределения линейной функции справедливы (разумеется,
приближение и для того случая, когда функция не является в точности линейной,
но может быть линеаризована).