12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов

Дана система случайных величин , подчиненная нормальному закону распределения (или, короче, «распределенная формально»); случайная величина  представляет собой линейную функцию этих величин:

.                    (12.7.1)

Требуется найти закон распределения величины .

Нетрудно убедиться, что это нормальный закон. Действительно, величина  представляет собой сумму линейных функций, каждая из которых зависит от одного нормально распределенного аргумента , а выше было доказано, что такая линейная функция также распределена нормально. Складывая несколько нормально распределенных случайных величин, мы снова получим величину, распределенную нормально.

Остается найти параметры величины  - центр рассеивания  и среднее квадратическое отклонение . Применяя теоремы о математическом ожидании и дисперсии линейной функции, получим:

,                 (12.7.2)

,              (12.7.3)

где  - коэффициент корреляции величин .

В случае, когда величины  некоррелированы (а значит, при нормальном законе, и независимы), формула (12.7.3) принимает вид:

.                      (12.7.4)

Средние квадратические отклонения в формулах (12.7.3) и (12.7.4) могут быть заменены пропорциональными им вероятными отклонениями.

На практике часто встречается случай, когда законы распределения случайных величин , входящих в формулу (12.7.1), в точности не известны, а известны только их числовые характеристики: математические ожидания и дисперсии. Если при этом величины  независимы, а их число  достаточно велико, тo, как правило, можно утверждать, что, безотносительно к виду законов распределения величин , закон распределения величины близок к нормальному. На практике для получения закона распределения, который приближенно может быть принят за нормальный, обычно оказывается достаточным наличие  слагаемых в выражении (12.7.1). Следует оговориться, что это не относится к случаю, когда дисперсия одного из слагаемых в формуле (12.7.1) подавляюще велика по сравнению со всеми другими; предполагается, что случайные слагаемые в сумме (12.7.1) по своему рассеиванию имеют примерно один и тот же порядок. Если эти условия соблюдены, то для величины  может быть приближенно принят нормальный закон с параметрами, определяемыми формулами (12.7.2) и (12.7.4).

Очевидно, все вышеприведенные соображения о законе распределения линейной функции справедливы (разумеется, приближение и для того случая, когда функция не является в точности линейной, но может быть линеаризована).