13.2. Неравенство Чебышева

В качестве леммы, необходимой для доказательства теорем, относящихся к группе «закона больших чисел», мы докажем одно весьма общее неравенство, известное под названием неравенства Чебышева.

Пусть имеется случайная величина  с математическим ожиданием  и дисперсией . Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина  отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной :

.                                  (13.2.1)

Доказательство. 1. Пусть величина  прерывная, с рядом распределения

Изобразим возможные значения величины  и ее математическое ожидание  в виде точек на числовой оси  (рис. 13.2.1).

Рис. 13.2.1.

Зададимся некоторым значением  и вычислим вероятность того, что величина  отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :

.                               (13.2.2)

Для этого отложим от точки  вправо и влево по отрезку длиной ; получим отрезок . Вероятность (13.2.2) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка  попадет не внутрь отрезка , а вовне его:

.

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений , которые лежат вне отрезка . Это мы запишем следующим образом:

 (13.2.3)

где запись  под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения , для которых точки , лежат вне отрезка .

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины . По определению:

.   (13.2.4)

Так как все члены суммы (13.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения , а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка :

.               (13.2.5)

Заменим под знаком суммы выражение  через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит,

.             (13.2.6)

Но согласно формуле (13.2.3) сумма, стоящая в правой части (13.2.6), есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка ; следовательно,

,

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае, когда величина  непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей  элементом вероятности, а конечных сумм - интегралами. Действительно,

.                (13.2.7)

где  - плотность распределения величины . Далее, имеем:

,

где знак  под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка .

Заменяя  под знаком интеграла через , получим:

,

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величин.

Пример. Дана случайная величина  с математическим ожиданием  и дисперсией . Оценить сверху вероятность того, что величина  отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на .

Решение. Полагая в неравенстве Чебышева , имеем:

,

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше .

Примечание. Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина  выйдет за пределы участка , значительно меньше . Например, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0,003. На практике чаще всего мы имеем дело со случайными величинами, значения которых только крайне редко выходят за пределы . Если закон распределения случайной величины неизвестен, а известны только  и , на практике обычно считают отрезок  участком практически возможных значений случайной величины (так называемое «правило трех сигма»).