13.7. Характеристические функции
Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Для доказательства этой теоремы А. М. Ляпунов создал специальный метод характеристических функций. В дальнейшем этот метод приобрёл самостоятельное значение и оказался весьма мощным и гибким методом, пригодным для решения самых различных вероятностных задач.
Характеристической функцией случайной величины
называется функция
, (13.7.1)
где
- мнимая единица. Функция
представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины
,
функционально связанной с величиной
. При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.
Зная закон распределения случайной величины
, легко найти ее характеристическую функцию.
Если
- прерывная случайная величина с рядом распределения
то ее характеристическая функция
(13.7.2)
Если
- непрерывная случайная величина с плотностью распределения
, то ее характеристическая функция
. (13.7.3)
Пример 1. Случайная величина
- число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна
. Найти характеристическую функцию случайной величины
.
Решение. По формуле (13.7.2) имеем:
,
где
.
Пример 2. Случайная величина
имеет нормальное распределение:
. (13.7.4)
Определить ее характеристическую функцию.
Решение. По формуле (13.7.3) имеем:
. (13.7.5)
Пользуясь известной формулой

и имея в виду, что
, получим:
. (13.7.6)
Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию
непрерывной случайной величины
через ее плотность распределения
. Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть
, чтобы получить
называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция
выражается через
с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция
выражается через
с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:
. (13.7.7)
Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.
1. Если случайные величины
и
связаны соотношением
,
где
- неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением:
. (13.7.8)
Доказательство:
.
2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство. Даны
- независимые случайные величины с характеристическими функциями

и их сумма
.
Требуется доказать, что
. (13.7.9)
Имеем
.
Так как величины
независимы, то независимы и их функции
. По теореме умножения математических ожиданий получим:
,
что и требовалось доказать.
Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения. Пусть, например, имеются две независимые случайные величины
и
с плотностями распределения
и
. Требуется найти плотность распределения величины
.
Это можно выполнить следующим образом: найти характеристические функции
и
случайных величин
и
и, перемножив их, получить характеристическую функцию величины
:
,
после чего, подвергнув
обратному преобразованию Фурье, найти плотность распределения величины
:
.
Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:
с характеристиками
;
;
с характеристиками
,
.
Решение. Находим характеристическую функцию величины
. Для этого представим ее в виде
,
где
;
.
Пользуясь результатом примера 2, найдем
.
Согласно свойству 1 характеристических функций,
.
Аналогично
.
Перемножая
и
, имеем:
,
а это есть характеристическая функция нормального закона с параметрами
;
. Таким образом, получена композиция нормальных законов гораздо более простыми средствами, чем в
12.6.