13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении

Согласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин (при соблюдении некоторых нежестких ограничений) сколь угодно близок к нормальному.

Практически центральной предельной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. При суммировании независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, с увеличением числа слагаемых закон распределения суммы очень скоро становится приблизительно нормальным. На практике вообще широко применяется приближенная замена одних законов распределения другими; при той сравнительно малой точности, которая требуется от вероятностных расчетов, такая замена тоже может быть сделана крайне приближенно. Опыт показывает, что когда число слагаемых порядка десяти (а часто и меньше), закон распределения суммы обычно может быть заменен нормальным.

В практических задачах часто применяют центральную предельную теорему для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.

Пусть  - независимые случайные величины с математическими ожиданиями

и дисперсиями

.

Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены (величины  сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых  достаточно для того, чтобы закон распределения величины

                              (13.9.1)

можно было считать приближенно нормальным.

Тогда вероятность того, что случайная величина  попадает в пределы участка , выражается формулой

,                    (13.9.2)

где ,  - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины  - нормальная функция распределения.

Согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий

                                  (13.9.3)

Таким образом, для того чтобы приближенно найти вероятности попадания суммы большого числа случайных величин на заданный участок, не требуется знать законы распределения этих величин; достаточно знать лишь их характеристики. Разумеется, это относится только к случаю, когда выполнено основное условие центральной предельной теоремы - равномерно малое влияние слагаемых на рассеивание суммы.

Кроме формул типа (13.9.2), на практике часто применяются формулы, в которых вместо суммы случайных величин  фигурирует их нормированная сумма

.                  (13.9.4)

Очевидно,

; .

Если закон распределения величины  близок к нормальному с параметрами (13.9.3), то закон распределения величины  близок к нормальному с параметрами , . Отсюда

.                  (13.9.5)

Заметим, что центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным случайным величинам при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения. Действительно, если величины  дискретны, то их сумма  - также дискретная случайная величина и поэтому, строго говоря, не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа (13.9.2), (13.9.5) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а функции распределения. Можно доказать, что если дискретные случайные величины удовлетворяют условиям центральной предельной теоремы, то функция распределения их нормированной суммы  (см. формулу (13.9.4)) при увеличении  неограниченно приближается к нормальной функции распределения с параметрами , .

Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Лапласа.

Если производится  независимых опытов, в каждом из которых событие  появляется с вероятностью , то справедливо соотношение

,                     (13.9.6)

где  - число появлений события  в  опытах, .

Доказательство. Пусть производится  независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью  может появиться событие . Представим случайную величину  - общее число появлений события в  опытах - в виде суммы

,                 (13.9.7)

где  - число появлений события  в -м опыте.

Согласно доказанной в  13.8 теореме, закон распределения суммы одинаково распределенных слагаемых при увеличении их числа приближается к нормальному закону. Следовательно, при достаточно большом  справедлива формула (13.9.5), где

.               (13.9.8)

В  10.3 мы доказали, что математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в  независимых опытах равны:

;    .

Подставляя эти выражения в (13.9.8), получим

,

и формула (13.9.5) примет вид:

.

Теорема доказана.

Пример 1. По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.

Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:

,

где  - число попаданий -й серии.

Условия центральной предельной теоремы соблюдены, так как величины  распределены одинаково. Будем считать число  достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему (на практике она обычно применима и при гораздо меньших ). Имеем:

,  .

Применяя формулу (13.9.6), получим:

,

т. е. с вероятностью 0,82 можно утверждать, что общее число попадании в полосу не выйдет за пределы .

Пример 2. Происходит групповой воздушный бой, в котором участвуют 50 бомбардировщиков и 100 истребителей. Каждый бомбардировщик атакуется двумя истребителями; таким образом, воздушный бой распадается на 50 элементарных воздушных боев, в каждом из которых участвует один бомбардировщик и два истребителя. В каждом элементарном бою вероятность сбития бомбардировщика равна 0,4; вероятность того, что в элементарном бою будут сбиты оба истребителя, равна 0,2: вероятность того, что будет сбит ровно один истребитель, равна 0,5. Требуется: 1) найти вероятность того, что в воздушном бою будет сбито не менее 35% бомбардировщиков; 2) оценить границы, в которых с вероятностью 0,9 будет заключено число сбитых истребителей.

Решение. 1) Обозначим  - число сбитых бомбардировщиков;

,

где  - число бомбардировщиков, сбитых в -м элементарном бою.

Ряд распределения величины  имеет вид:

Отсюда

; ; ; .

Применяя формулу (13.9.6) и полагая  (или, что в данном случае равносильно, ), , находим:

.

2) Обозначим  число сбитых истребителей:

,

где  - число истребителей, сбитых в -м элементарном бою.

Ряд распределения величины  имеет вид:

Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины :

; .

Для величины :

; ; .

Определим границы участка, симметричного относительно , в который с вероятностью 0,9 попадет величина . Обозначим половину длины этого участка . Тогда

,

.

По таблицам функции  находим то значение аргумента, для которого ; это значение приближенно равно

,

т.е.

,

откуда

.

Следовательно, с вероятностью около 0,9 можно утверждать, что число сбитых истребителей будет заключено в предела , т. е. в пределах от 37 до 53.