13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом примененииСогласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин (при соблюдении некоторых нежестких ограничений) сколь угодно близок к нормальному. Практически центральной предельной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. При суммировании независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, с увеличением числа слагаемых закон распределения суммы очень скоро становится приблизительно нормальным. На практике вообще широко применяется приближенная замена одних законов распределения другими; при той сравнительно малой точности, которая требуется от вероятностных расчетов, такая замена тоже может быть сделана крайне приближенно. Опыт показывает, что когда число слагаемых порядка десяти (а часто и меньше), закон распределения суммы обычно может быть заменен нормальным. В практических задачах часто применяют центральную предельную теорему для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах. Пусть и дисперсиями
Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены (величины
можно было считать приближенно нормальным. Тогда вероятность того, что случайная величина
где Согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий
Таким образом, для того чтобы приближенно найти вероятности попадания суммы большого числа случайных величин на заданный участок, не требуется знать законы распределения этих величин; достаточно знать лишь их характеристики. Разумеется, это относится только к случаю, когда выполнено основное условие центральной предельной теоремы - равномерно малое влияние слагаемых на рассеивание суммы. Кроме формул типа (13.9.2), на практике часто применяются формулы, в которых вместо суммы случайных величин
Очевидно,
Если закон распределения величины
Заметим, что центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным случайным величинам при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения. Действительно, если величины Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Лапласа. Если производится
где Доказательство. Пусть производится
где Согласно доказанной в
В
Подставляя эти выражения в (13.9.8), получим
и формула (13.9.5) примет вид:
Теорема доказана. Пример 1. По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб. Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:
где Условия центральной предельной теоремы соблюдены, так как величины
Применяя формулу (13.9.6), получим:
т. е. с вероятностью 0,82 можно утверждать, что общее число попадании в полосу не выйдет за пределы Пример 2. Происходит групповой воздушный бой, в котором участвуют 50 бомбардировщиков и 100 истребителей. Каждый бомбардировщик атакуется двумя истребителями; таким образом, воздушный бой распадается на 50 элементарных воздушных боев, в каждом из которых участвует один бомбардировщик и два истребителя. В каждом элементарном бою вероятность сбития бомбардировщика равна 0,4; вероятность того, что в элементарном бою будут сбиты оба истребителя, равна 0,2: вероятность того, что будет сбит ровно один истребитель, равна 0,5. Требуется: 1) найти вероятность того, что в воздушном бою будет сбито не менее 35% бомбардировщиков; 2) оценить границы, в которых с вероятностью 0,9 будет заключено число сбитых истребителей. Решение. 1) Обозначим
где Ряд распределения величины
Отсюда
Применяя формулу (13.9.6) и полагая
2) Обозначим
где Ряд распределения величины
Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины
Для величины
Определим границы участка, симметричного относительно
По таблицам функции
т.е.
откуда
Следовательно, с вероятностью около 0,9 можно утверждать, что число сбитых истребителей будет заключено в предела
|