14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
Пусть имеется случайная величина
с математическим ожиданием
и дисперсией
; оба параметра неизвестны. Над величиной
произведено
независимых опытов, давших результаты
. Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки для параметров
и
.
В качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюденных значений (ранее мы его обозначали
):
. (14.2.1)
Нетрудно убедиться, что эта оценка является состоятельной: согласно закону больших чисел, при увеличении
величина
сходится по вероятности к
. Оценка
является также и несмещенной, так как
. (14.2.2)
Дисперсия этой оценки равна:
. (14.2.3)
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения величины
. Можно доказать, что если величина
распределена по нормальному закону, дисперсия (14.2.3) будет минимально возможной, т. е. оценка
является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.
Перейдем к оценке для дисперсии
. На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется статистическая дисперсия:
, (14.2.4)
где
. (14.2.5)
Проверим, является ли эта оценка состоятельной. Выразим ее через второй начальный момент (по формуле (7.4.6) гл. 7):
. (14.2.6)
Первый член в правой части есть среднее арифметическое
наблюденных значений случайной величины
; он сходится по вероятности к
. Второй член сходится по вероятности к
; вся величина (14.2.6) сходится по вероятности к величине
.
Это означает, что оценка (14.2.4) состоятельна.
Проверим, является ли оценка
также и несмещенной. Подставим в формулу (14.2.6) вместо
его выражение (14.2.5) и произведем указанные действия:


. (14.2.7)
Найдем математическое ожидание величины (14.2.7):
. (14.2.8)
Так как дисперсия
не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке
. Тогда
;
, (14.2.9)
. (14.2.10)
Последнее равенство следует из того, что опыты независимы.
Подставляя (14.2.9) и (14.2.10) в (14.2.8), получим:
. (14.2.11)
Отсюда видно, что величина
не является несмещенной оценкой для
: ее математическое ожидание не равно
, а несколько меньше. Пользуясь оценкой
вместо дисперсии
, мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину
на
. Получим:
.
Такую «исправленную» статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки для
:
. (14.2.12)
Так как множитель
стремится к единице при
, а оценка
состоятельна, то оценка
также будет состоятельной.
На практике часто вместо формулы (14.2.12) бывает удобнее применять другую, равносильную ей, в которой статистическая дисперсия выражена через второй начальный момент:
. (14.2.13)
При больших значениях
, естественно, обе оценки - смещенная
и несмещенная
- будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл.
Таким образом, мы пришли к следующим правилам обработки ограниченного по объему статистического материала.
Если даны значения
, принятые в
независимых опытах случайной величиной
с неизвестными математическим ожиданием
и дисперсией
, то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными значениями (оценками):
(14.2.14)