14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
В предыдущем
мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. В данном
мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины
, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.
Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка
. Закон распределения оценки
в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины
. Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины
к какой-либо другой функции наблюденных значений
, закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов
и от вида закона распределения величины
. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины
.
Например, доказано, что при нормальном распределении величины
случайная величина
, (14.4.1)
где
,
,
подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с
степенями свободы; плотность этого закона имеет вид
, (14.4.2)
где
- известная гамма-функция:
.
Доказано также, что случайная величина
(14.4.3)
имеет «распределение
» с
степенями свободы (см. гл. 7. стр. 145), плотность которого выражается формулой
(14.4.4)
Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров
и
.
Пусть произведено
независимых опытов над случайной величиной
, распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами
и
. Для этих параметров получены оценки
,
.
Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности
.
Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно
; обозначим
половину длины интервала. Величину
нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие
. (14.4.5)
Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины
к случайной величине
, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства
на положительную величину
:

или, пользуясь обозначением (14.4.1),
. (14.4.6)
Найдем такое число
, что
. (14.4.7)
Величина
найдется из условия
. (14.4.8)
Из формулы (14.4.2) видно, что
- четная функция; поэтому (14.4.8) дает
. (14.4.9)
Равенство (14.4.9) определяет величину
в зависимости от
. Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла
,
то величину можно найти обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений
. Такая таблица дается в приложении (см. табл. 5). В этой таблице приведены значения
в зависимости от доверительной вероятности
и числа степеней свободы
. Определив
по таблице 5 и полагая
, (14.4.10)
мы найдем половину ширины доверительного интервала
и сам интервал
. (14.4.11)
Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной
, распределенной нормально с неизвестными параметрами
и
. Результаты опытов приведены в таблице 14.4.1.
Таблица 14.4.1

|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|

|
-2,5
|
3,4
|
-2,0
|
1,0
|
2,1
|
Найти оценку
для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал (т. е. интервал, соответствующий доверительной вероятности
).
Решение. Имеем
;
.
По таблице 5 приложения для
и
находим
,
откуда
.
Доверительный интервал будет
.
Пример 2. Для условий примера 1
14.3, предполагая величину
распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.
Решение. По таблице 5 приложения находим при
и 
; отсюда
.
Сравнивая с решением примера 1
14.3 (
), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:
.
Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии.
Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину
через величину
(14.4.3), имеющую распределение
(14.4.4):
. (14.4.12)
Зная закон распределения величины
, можно найти интервал
, в который она попадает с заданной вероятностью
.
Закон распределения
величины
имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

Рис. 14.4.1.
Возникает вопрос: как выбрать интервал
? Если бы закон распределения величины
был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал
симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон
несимметричен. Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины
за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны
.
Чтобы построить интервал
с таким свойством, воспользуемся таблицей 4 приложения: в ней приведены числа
такие, что

для величины
, имеющей
распределение с
степенями свободы. В нашем случае
. Зафиксируем
и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения
; одно, отвечающее вероятности
, другое - вероятности
. Обозначим эти значения
и
. Интервал
имеет
своим левым, а
- правым концом.
Теперь найдем по интервалу
искомый доверительный интервал
для дисперсии с границами
и
, который накрывает точку
с вероятностью
:
.
Построим такой интервал
, который накрывает точку
тогда и только тогда, когда величина
попадает в интервал
. Покажем, что интервал
(14.4.13)
удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства
; 
равносильны неравенствам
;
,
а эти неравенства выполняются с вероятностью
. Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).
Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2
14.3, если известно, что величина
распределена нормально.
Решение. Имеем
;
;
. По таблице 4 приложения находим при 
для
;
для
.
По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии
.
Соответствующий интервал для среднего квадратического отклонения:
. Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2
14.3 приближенным методом интервал
.