§ 6. Условия равномерной сходимости частот появления событий к их вероятностямОбобщение теоремы Гливенко и построение теории равномерной сходимости частот появления событий к их вероятностям стали возможны благодаря введению более тонкой меры разнообразия класса функций, чем число функций в классе. Вот как она определяется. Пусть задана система
Рассмотрим, далее, выборку
Так как Разнообразие класса решающих
правил будем изменять величиной математического ожидания
Оказывается, что для
существования равномерной сходимости частот
стремилась
к нулю при неограниченном увеличении длины выборки Как и всякие исчерпывающие
условия, приведенные необходимые и достаточные условия равномерной сходимости
частот появления событий к их вероятностям используют довольно тонкие понятия.
На практике проверка таких условий представляет значительные трудности. В нашем
случае трудности связаны с тем, что характер распределения неизвестен, в то
время как проверке подвергается свойство энтропии, которая конструктируется с
помощью распределения Поэтому для использования на
практике условий равномерной сходимости целесообразно из данных условий
получить более грубые достаточные условия, которые не зависели бы от свойств
распределения Огрубление необходимых и
достаточных условий заключается в том, что вместо энтропии функции
где
максимум определяется по всем возможным выборкам длины Функция роста построена так, что
она не зависит от распределения
Теперь, если окажется, что величина
стремится
к нулю с ростом
и подавно устремится к нулю. Поэтому условие
является достаточным условием существования равномерной сходимости. Это условие может быть легко проверено для различных классов решающих правил.
|