§ 2. Выпуклые функцииНепрерывная функция скалярного аргумента называется выпуклой, если для любой пары точек и справедливо неравенство , . (9.5) Приведенное определение выпуклой функции имеет простой геометрический смысл. Прежде всего, отметим, что выражение , для всякого фиксированного определяет точку , которая лежит на отрезке, соединяющем и . Обратно, каждое число может быть разложено по и единственным образом, причем , . (9.6) Если рассмотреть график функции (рис. 20) и его дугу между точками , , где и , то неравенство (9.5) означает, что дуга графика лежит под хордой, соединяющей любые две точки графика: , . (9.7) Рис.20. Аналогично определяется выпуклая функция в случае векторного аргумента: для любой точки , лежащей на отрезке, соединяющем две точки и , имеет место неравенство . (9.8)
|