§ 2. Выпуклые функции

Непрерывная функция  скалярного аргумента  называется выпуклой, если для любой пары точек  и  справедливо неравенство

,

.                    (9.5)

Приведенное определение выпуклой функции имеет простой геометрический смысл. Прежде всего, отметим, что выражение ,  для всякого фиксированного  определяет точку , которая лежит на отрезке, соединяющем  и . Обратно, каждое число  может быть разложено по  и  единственным образом, причем

, .                      (9.6)

Если рассмотреть график функции  (рис. 20) и его дугу между точками , , где  и , то неравенство (9.5) означает, что дуга графика лежит под хордой, соединяющей любые две точки графика:

, .                        (9.7)

Рис.20.

Аналогично определяется выпуклая функция в случае векторного аргумента: для любой точки , лежащей на отрезке, соединяющем две точки  и , имеет место неравенство

.                 (9.8)