§ 9. Приложение к главе X

Оценим величину

,

где  пробегает значения, удовлетворяющие неравенствам

 и

или, что то же самое, неравенствам

 и ,

а  и  – произвольные положительные целые числа.

Разложим  на два слагаемых:

,

 при ,

 при .

Введем обозначения:

,                 (П.1)

                   (П.2)

для

.

Далее обозначим

, ,

.

Очевидно, что имеет место соотношение

.              (П.3)

Далее из (П.2) непосредственно следует что при

,

т. е.  монотонно убывает. Поэтому из (П.3) следует неравенство

и, по определению , имеем

.

Применяя последовательно это соотношение, получим для произвольных  и , удовлетворяющих условию ,

.

Наконец, поскольку ,

,                    (П.4)

где  – любое целое число, меньшее чем .

Положим

,

тогда

.

При этом, очевидно, пока ,

.

Для аппроксимации  исследуем функцию

,

считая, что  и  больше нуля.

При

.

Далее,

,

.

Отсюда следует, что при

.

Соответственно при  и

.

Возвращаясь к , получаем, что при

.

Оценим теперь

,

считая, что :

.

Возвращаясь к (П.4), получим

;

здесь  – любое число меньшее . Поэтому для  можно положить  для  нечетного и  для  четного, получив наиболее сильную оценку. Суммируя, далее, арифметическую прогрессию, получим

Наконец,  есть  при  первом целом таком, что

,

откуда

.

Точно так же оценивается величина , так как распределение (П.1) симметрично с центром . Таким образом,

.             (П.5)

Далее, рассмотрим сначала случай, когда  . При этом заведомо  и .

Правая часть (П.5) в этом случае достигает максимума при  и, следовательно,

.                   (П.6)

При  оценка (П.6) тривиальна, поскольку левая часть неравенства не превосходит единицу, а правая всегда больше единицы.

Таким образом, оценка (П.6) справедлива при любых целых  и  в пределах .