УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМОтправной точкой предшествующего изложения было предположение о том, что каждому элементу конечного универсального множества ставится в соответствие значение лингвистической вероятности, являющееся компонентой списка значений лингвистических вероятностей . В данном контексте нечеткое подмножество множества играет роль нечеткого события. Пусть - степень принадлежности подмножеству. Тогда если — обычные вероятности , то вероятность события определяется как (см. [48]) ( арифметическая сумма) . (7.54) Естественно обобщить это определение на лингвистические вероятности, определив лингвистическую вероятность события как , (7.55) понимая при этом правую часть выражения (7.55) как линейную форму типа (7.27). В связи с выражением (7.55) необходимо отметить, что из ограничения (7.56) на рассматриваемые вероятности и того, что
следует, что — нечеткое подмножество интервала [0, 1]. Пример 7.5. Проиллюстрируем сказанное очень простым примером. Предположим, что , (7.57) , (7.58) , (7.59) , (7.60) . (7.61) Тогда ( арифметическая сумма) (7.62) при ограничении . (7.63) Выбирая такие члены в (7.62), которые удовлетворяют (7.63), получаем (7.64) откуда . (7.65) выражение (7.65) можно грубо аппроксимировать равенством . (7.66) Лингвистическую вероятность нечеткого события, выраженную формулой (7.55), можно рассматривать как частный случай более общего понятия, а именно лингвистического среднего, или, что то же самое, лингвистического математического ожидания функции (определенной на ) по нечеткому подмножеству множества . Более конкретно, пусть — определенная на функция, принимающая действительные значения; пусть — нечеткое подмножество множества , и пусть — лингвистические вероятности, соответствующие . Тогда лингвистическое среднее функции по обозначается как и определяется следующим образом ( арифметическая сумма): . (7.67) Рассмотрим следующий конкретный пример выражения (7.67). Предположим, что люди с именами выбираются в соответствии с лингвистическими вероятностями, где - ограничение на . Предположим, что на накладывается штраф в размере , уменьшенном пропорционально степени принадлежности классу . Тогда лингвистический средний (ожидаемый) размер штрафа выражается формулой (7.67). Замечание 7.6. Отметим, что (7.67) по существу является линейной комбинацией вида (7.27), где . (7.68)
аким образом, чтобы вычислить (7.67), можно использовать метод, описанный ранее для вычисления линейных форм в лингвистических вероятностях. В частности, следует отметить, что, когда , правая часть (7.67) имеет вид . (7.69) сводится к. Кроме выражения для выражение (7.67) содержит в себе в качестве частных случаев и выражения для других средних, встречающихся в различных приложениях. Среди них существуют два типа, которые можно рассматривать как вырожденные формы (7.67) и которые часто встречаются во многих задачах, представляющих практический интерес. Мы кратко остановимся на этих типах средних и для удобства сформулируем их определения в форме ответов на вопросы. Вопрос 7.7. Каково число элементов в данном нечетком множестве ? Очевидно, этот вопрос поставлен некорректно, поскольку в случае нечеткого множества не существует четкой границы между принадлежностью и непринадлежностью элемента множеству. Тем не менее понятие мощности нечеткого множества [49], определяемое как , (7.70) является естественным обобщением понятия числа элементов . Для иллюстрации предположим, что — универсальное множество жителей в городе, а — нечеткое множество безработных в этом городе. Если интерпретировать как степень принадлежности человека классу безработных (например, =0.5, если занял половину рабочего времени и ищет работу с полным рабочим днем), то можно интерпретировать как эквивалентное число полностью безработных. Вопрос 7.8. Предположим, что — функция, принимающая действительные значения и определенная на . Каково среднее значение на нечетком подмножестве множества ? Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в выражении (7.67). Пусть (обозначает среднее значение функции на . Если бы было обычным (не нечетким) множеством, то выражалось бы формулой , (7.71) где обозначает суммирование по тем , которые принадлежат , а — число этих элементов. Чтобы обобщить (7.71) на нечеткие множества, заметим, что (7.71) можно переписать так: , (7.72) где — характеристическая функция множества . Тогда (7.72) можно принять в качестве определения для нечеткого множества , если интерпретировать как степень принадлежности множеству . При этом мы приходим к выражению для, которое можно рассматривать как частный случай выражения (7.67). Проиллюстрируем (7.72) следующим примером. Предположим, что — полное множество жителей в городе и — нечеткое подмножество молодых жителей; кроме того, предположим, что — заработок жителя . Тогда средний заработок молодых жителей города выражается формулой (7.72). Замечание 7.9. Поскольку выражение для есть линейная форма переменных мощность нечеткого множества типа 2 (см. определение 3.22) можно легко подсчитать методом, которым мы пользовались ранее для вычисления . В случае , однако, мы имеем дело с отношением линейных форм, и, следовательно, вычисление для нечетких множеств типа 2 представляет собой более трудную отдачу. Целью предыдущего изложения было показать, что понятие лингвистической переменной служит основой для определения вероятностей и в сочетании с принципом обобщения может быть использовано для вычисления линейных комбинаций разных вероятностей. Мы не будем больше останавливаться в этом вопросе и в последующем изложении обратим внимание на основное правило вывода в нечеткой логике.
|