КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДА

Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Обращаясь к рис. 8.1, предположим, что имеется кривая и задано значение . Тогда из того, что и , мы можем заключить, что .

Обобщим теперь этот процесс, предположив, что — интервал, а — функция, значения которой суть интервалы, как на рис. 8.2. В этом случае, чтобы найти интервал , соответствующий интервалу , мы сначала построим цилиндрическое множество с основанием (см. (3.58)) и найдем его пересечение с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось и получим желаемое значение в виде интервала .

Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что — нечеткое подмножество оси , а — нечеткое отношение в . Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество с основанием и его пересечение с нечетким отношением (см. рис. 8.3), мы получим нечеткое множество , которое является аналогом точки пересечения на рис. 8.1. Проектируя затем это множество на ось , получим значение в виде нечеткого подмножества оси . Таким образом, из того, что и - нечеткое подмножество оси , мы получаем значение в виде нечеткого подмножества оси .

Рис. 8.1. Вывод из предпосылок и .

Рис. 8.2. Иллюстрация композиционного правила вывода в случае переменных со значениями-интервалами.

Более конкретно, пусть и обозначают функции принадлежности множеств и соответственно. Тогда по определению множества (см. (3.58))

(8.1)

и, следовательно,

. (8.2)

Проектируя множество на ось , получаем из (8.2) и (3.57):

, (8.3)

т. е. выражение для функций принадлежности проекции (тени) на ось . Сравнивая это выражение с определением композиции и (см. (3.55)), видим, что множество можно представить как

, (8.4)

где знак обозначает операцию композиции. Как утверждается в § 3, если нечеткие множества и имеют конечные носители, то операция композиции сводится к максминному произведению матриц.

Рис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменных.

Пример 8.1. Предположим, что и имеют вид

(8.5)

(8.6)

Выражая и с помощью матриц и образуя матричное произведение (8.4), получаем

(8.7)

Вышеизложенные замечания и примеры помогают обосновать следующее правило вывода.

Правило 8.2. Пусть и — два универсальных множества с базовыми переменными и соответственно. Пусть обозначают ограничения на и соответственно и представляют собой нечеткие отношения в . Пусть и — нечеткие подмножества множеств . Тогда композиционное правило вывода утверждает, что решение уравнений назначения

, (8.8)

(8.9)

имеет вид

, (8.10)

где — композиция и . В этом смысле мы можем делать вывод из того, что и .

В качестве простой иллюстрации применения этого правила предположим, что

, (8.11)

(8.12)

(8.13)

Другими словами, — унарное нечеткое отношение в , названное малый, — бинарное нечеткое отношение в , названное примерно равны.

Уравнения назначения в этом случае имеют вид

, (8.14)

, (8.15)

и, следовательно,

(8.16)

что можно аппроксимировать следующим образом:

, (8.17)

если терм более или менее определяется как оператор увеличения нечеткости (см. (3.48)), где

(8.18)

Заметим, что применение этого оператора к дает

(8.19)

в качестве аппроксимации набора .

Итак, используя композиционное правило вывода, из того, что и , мы вывели, что

точно (8.20)

- в качестве лингвистического приближения. (8.21)

Словами этот приближенный вывод можно записать в виде

(8.22)

Основная идея этого схематически описанного метода состоит в следующем. Каждый факт или предпосылка записывается в виде уравнения назначения в отношениях, содержащего одно или большее число ограничений на базовые переменные. Эти уравнения решаются относительно желаемых ограничений при помощи композиции нечетких отношений. Получаемые решения и представляют собой вывод из данного набора предпосылок.