ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ И НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Основным понятием, которое нам понадобится в дальнейшем, является понятие взаимодействия двух или большего числа переменных - понятие, аналогичное понятию зависимости случайных величин. Пусть переменная
связана с ограничением
, которое индуцирует ограничения
на
соответственно. Введем
Определение 2.9. Переменные
называются невзаимодействующими при ограничении
тогда и только тогда, когда
сепарабельно, т. е.
, (2.16)
где для 
на
; (2.17)
здесь
и
дополнение
в
.
Пример 2.10. На рис. 2.4,а представлены графически две невзаимодействующие переменные
и
, ограничениями
и
для которых являются интервалы; в этом случае
есть декартово произведение этих интервалов. На рис. 2.4,б ограничение
- собственное подмножество множества
и, следовательно,
и
- взаимодействующие переменные. Отметим, что в примере 2.3 переменные
и
- взаимодействующие.

Рис. 2.4.а.
и
- невзаимодействующие переменные. б.
и
- взаимодействующие переменные
Как будет показано в § 4 в более общем случае, если
- невзаимодействующие переменные, то
-арное уравнение назначения
(2.18)
можно разложить в последовательность
унарных уравнений назначения:
(2.19)
где
,
- проекция ограничения
на
, причем по определению 2.9
(2.20)
В случае взаимодействующих переменных
последовательность
унарных уравнений назначения принимает следующий вид [см. также (4.34)]:
(2.21)
где
обозначает индуцированное ограничение на
при данных
. Характеристическая функция этого условного ограничения выражается следующим образом[см. (2.13)]:
(2.22)
причем аргументы
в правой части этого выражения играют роль параметров.

Рис. 2.5.
- ограничение на
при условии
.
Замечание 2.10. Система (2.21) означает, что в случае взаимодействующих переменных, как только переменной
назначено значение
, ограничение на
становится зависимым от
. Ограничение на
становится зависимым от значений, назначенных переменным
и
, и, наконец, ограничение на
становится зависимым от
. Более того, из (2.22) следует, что ограничение на
при заданных
по существу то же, что и маргинальное ограничение на
, при условии, что
рассматриваются как параметры. Иллюстрацией этого служит рис. 2.5.
В аналогии с саквояжем (см. замечание 2.4)
— невзаимодействующие переменные, если перегородки между отделениями саквояжа, обозначенными через
, не податливые. В этом случае то, что помещено в одном отделении, не влияет на предметы, которые можно поместить в другие отделения.
Если же перегородки между отделениями податливые, то переменные
становятся взаимодействующими в том смысле, что помещение какого-либо предмета, скажем
, в
влияет на то, что можно поместить в остальные отделения. С этой точки зрения последовательность унарных уравнений (2.21) есть описание того, каким образом помещение предметов
в отделения
влияет на ограничение для отделения
.
Определяя понятия невзаимодействия, маргинального ограничения, условного ограничения и т. п. для обычных (не нечетких) переменных, мы ставили своей целью а) показать, что понятия, аналогичные понятиям статистической независимости, маргинального распределения, условного распределения и т. п. применимы также к неслучайным, не нечетким переменным; и б) получить основу для введения подобных понятий в случае нечетких переменных.
Прежде чем перейти к этим понятиям, мы рассмотрим некоторые свойства нечетких множеств и сформулируем принцип обобщения, который будет играть важную роль в дальнейшем изложении.