§ 6.8. Фильтры  Колмогорова — Винера

Если предположить, что критерий оптимальности определяется квадратической функцией от разности между желаемой величиной и выходом фильтра, а фильтр линеен и описывается уравнением свертки, то мы придем к задаче определения оптимального фильтра Колмогорова — Винера. Решение этой задачи сводится к минимизации функционала

                       (6.32)

Аналитический подход, при котором используется вариационное исчисление и корреляционная теория, приводит к уравнению типа Винера-Хопфа или к эквивалентной краевой задаче, которая решается методом факторизации. Сравнительная компактность окончательного результата, определяющего импульсную характеристику  или соответствующую ей передаточную функцию  оптимального фильтра, создает иллюзию простоты вычислений этих оптимальных характеристик. На самом деле это далеко не так. Большой объем вычислений падает на определение соответствующих корреляционных функций и спектральных плотностей по реализациям. Эти последние почему-то всегда считаются заданными, причем, как правило, в довольно простой форме. Нельзя ли миновать этот этап и определять оптимальные характеристики фильтра непосредственно по реализациям? Оказывается, это возможно, если использовать адаптивный подход.

Будем искать оптимальную импульсную характеристику в виде . Подставляя ее в (6.32), получаем

                      (6.33)

где, очевидно,

                                   (6.34)

Теперь можно обычным способом осуществить минимизацию  по . При этом мы получаем систему линейных уравнений относительно , коэффициенты и правые части которой выражены через текущие корреляционные функции. Непрерывное решение этой системы уравнений и определяет с течением времени оптимальное значение , а значит, и

                                 (6.35)

Применение алгоритма адаптации, например,

               (6.36)

позволяет значительно  упростить устройство  адаптации. Аналогичным образом  можно  рассмотреть с позиции адаптации очень интересный подход для решения подобных задач, который успешно развивался Р. Калманом.