§ 2.9. Учет ограничений II

Ограничения типа неравенств не позволяют использовать классические подходы, которые мы до сих пор широко использовали. Для учета ограничений этого типа приходится прибегать к новому математическому аппарату — математическому программированию, возникшему сравнительно недавно.

Условия оптимальности в этом случае даются теоремой Куна — Таккера, которая представляет собой обобщение метода Лагранжа на случай ограничений типа неравенств. Теорема Куна — Таккера утверждает, что оптимальный вектор  удовлетворяет следующим условиям:

                                     (2.29)

Условия записаны в векторной форме, , ; неравенства ,  означают, что все компоненты этих векторов неотрицательны. Кроме того, предполагается, что ограничения (1.14) таковы, что существует вектор , для которого

    .                                               (2.30)

Это — известное в теории нелинейного программирования условие регулярности Слейтера.

Условия (2.29) имеют простой смысл: если для оптимального вектора  несущественно какое-то ограничение, т. е.  для какого-то , то соответствующее ; если же , то в этом случае .

Рис. 2.8.

Таким образом, множители Лагранжа можно интерпретировать как некоторые оценки влияния ограничений (1.14) на оптимальное значение вектора.

Заметим, что если функционалы  и   выпуклы, то теорема Куна — Таккера дает необходимые и достаточные условия оптимальности.

Применяя к (2.29) алгоритмы оптимизации, нетрудно получить, что

         (2.31)

Структурная схема системы, соответствующая этому алгоритму, изображена на рис. 2.8. Она отличается от схемы рис. 2.7 только наличием однонаправленного устройства, которое обеспечивает учет ограничений в виде неравенств.