§ 3.17. Наилучшие алгоритмы

Рассмотрим алгоритм

,            (3.53)

где

   (3.54)

— диагональная матрица, а  — оператор, преобразующий вектор  в диагональную матрицу. Определим па этом алгоритме функционал (3.52). Тогда

.  (3.55)

Условие минимума этого функционала запишется так:

,        (3.56)

В общем случае  зависит нелинейно от , а значит, и от . Поэтому уравнения (3.56) нельзя решить относительно  в явной форме. И единственный путь нахождения  состоит в применении к (3.56) регулярного итеративного алгоритма типа

,       (3.57)

где  и  в интервале времени между -м и -м шагами. Этот алгоритм позволяет определить  как значение  при достаточно большом . Итеративная процедура (3.57), разумеется, должна происходить в убыстренном масштабе времени.

Предполагая, однако, что норма вектора , т. е. , мала, что в силу алгоритма (3.53) эквивалентно малости , можно приближенно определить  в явной форме. Пусть диагональная матрица  — неособая; тогда, ограничиваясь линейным приближением, запишем условие (3.56) приближенно в виде

      (3.58)

Здесь

— матрица вторых производных.

Учитывая теперь, что при любом  мы хотим соблюдения равенства

,         (3.59)

получаем из (3.58)

.   (3.60)

Если использовать свойство обращения произведения матриц, то окончательно (3.60) запишется так:

.   (3.61)

Теперь можно, согласно (3.54), определить  и затем соответствующий этой матрице алгоритм (3.53), который принимает вид

.    (3.62)

Поскольку этот алгоритм справедлив при малых , то уместно его называть приближённо наилучшим алгоритмом. Аналогичным образом можно получить наилучшие непрерывные алгоритмы. Интересно отметить, что для них не существует ограничений (малость ), которые в случае дискретных алгоритмов заставляют довольствоваться приближенно наилучшими алгоритмами.