§ 3.17. Наилучшие алгоритмыРассмотрим алгоритм , (3.53) где (3.54) — диагональная матрица, а — оператор, преобразующий вектор в диагональную матрицу. Определим па этом алгоритме функционал (3.52). Тогда . (3.55) Условие минимума этого функционала запишется так: , (3.56) В общем случае зависит нелинейно от , а значит, и от . Поэтому уравнения (3.56) нельзя решить относительно в явной форме. И единственный путь нахождения состоит в применении к (3.56) регулярного итеративного алгоритма типа , (3.57) где и в интервале времени между -м и -м шагами. Этот алгоритм позволяет определить как значение при достаточно большом . Итеративная процедура (3.57), разумеется, должна происходить в убыстренном масштабе времени. Предполагая, однако, что норма вектора , т. е. , мала, что в силу алгоритма (3.53) эквивалентно малости , можно приближенно определить в явной форме. Пусть диагональная матрица — неособая; тогда, ограничиваясь линейным приближением, запишем условие (3.56) приближенно в виде (3.58) Здесь — матрица вторых производных. Учитывая теперь, что при любом мы хотим соблюдения равенства , (3.59) получаем из (3.58) . (3.60) Если использовать свойство обращения произведения матриц, то окончательно (3.60) запишется так: . (3.61) Теперь можно, согласно (3.54), определить и затем соответствующий этой матрице алгоритм (3.53), который принимает вид . (3.62) Поскольку этот алгоритм справедлив при малых , то уместно его называть приближённо наилучшим алгоритмом. Аналогичным образом можно получить наилучшие непрерывные алгоритмы. Интересно отметить, что для них не существует ограничений (малость ), которые в случае дискретных алгоритмов заставляют довольствоваться приближенно наилучшими алгоритмами.
|