3.3. Рекуррентное оценивание многомерных изображений

Случайные поля часто применяются для представления пространственно-временных сигналов в различных информационных системах. При синтезе и анализе подобных систем используются методы оптимального линейного оценивания СП, заданных на многомерных сетках, на фоне аддитивных помех [23]. Строго оптимальное решение этой задачи [35] предполагает применение методов векторной калмановской фильтрации. Однако при этом возникают значительные технические проблемы, связанные с большим числом вычислительных операций при реализации процедур оценивания в реальном масштабе времени. Рассмотрим возможности построения рекуррентных по пространству алгоритмов оценивания, позволяющих значительно сократить число операций при сохранении эффективности, близкой к потенциально-достижимой.

            Пусть марковское поле  заданно на двумерной сетке  простейшей АР‑моделью (2.14) с характеристическими корнями кратности :

,                                          (3.11)

где  – коэффициенты корреляции соседних элементов изображения по строке и столбцу соответственно;  – двумерное СП гауссовских СВ с нулевыми средними и дисперсиями ; . Задача оптимального (в смысле минимума дисперсии ошибки) оценивания  рассматривается обычно для аддитивной модели наблюдений:

,                          (3.12)

где  – белое гауссовское поле с дисперсией .

            В работе [15] задача оценивания двумерного поля  сводится к задаче калмановской фильтрации векторной случайной последовательности. При этом в расширенный вектор состояния  включаются все элементы k-й строки изображения. Модель (3.1) для этого случая преобразуется к виду:

,                                     (3.13)

где  – вектор некоррелированных гауссовских случайных величин с ковариационной матрицей ;  – переходная матрица системы;  – корреляционная матрица информационного СП; Е – единичная матрица. После перехода к векторной форме модель наблюдений (3.12) запишется следующим образом:

,                            (3.14)

где . Соотношения (3.13), (3.14) приводят к следующему алгоритму построчной калмановской фильтрации [15]:

, ,                                        (3.15)

, ,                                              (3.16)

где начальные условия задаются следующим образом:

, .                                    (3.17)

            В процедуре (3.15) – (3.17) используются векторно-матричные операции, и оценка , получаемая на каждом шаге, является полной строкой изображения. Оценим число элементарных операций умножения на каждом шаге вычислений. Учитывая тот факт, что коэффициенты  и  являются, по существу, скалярами, вычислительная сложность процедуры пересчета матрицы ковариаций ошибок оценивания  в (3.5) составляет  операций умножения, где  – длина строки. При этом основное число операций  требуется для вычисления обратной матрицы. Собственно процедура вычисления оценки информационного поля в (3.16) требует  умножений.

            Рассмотрим возможности сокращения требуемого числа операций для решения задачи квазиоптимального оценивания двумерного СП. Для этого вначале выпишем элементы  матрицы , представляющие собой ковариации ошибок оценивания . Как следует из (3.5), матрица  образуется из матрицы  с элементами , равными ковариациям ошибок экстраполяции .

            Выделим -й элемент k-й строки изображения и запишем (3.15) в следующей скалярной форме

,                                         (3.18)

где

.                          (3.19)

            Анализ данного выражения показывает, что соотношение (3.19) можно рассматривать как оценку величины  с помощью оптимального нерекурсивного линейного фильтра (фильтра Винера) [74]. При этом для оценки  используются разности .

            Для преобразования винеровской нерекуррентной оценки (3.19) в калмановскую, допустим, что модели состояния и наблюдения для  записываются следующим образом:

,                                     (3.20)

где индекс k опущен для сокращения записи. Для того, чтобы применить к (3.20) процедуру скалярного калмановского оценивания, необходимо определить коэффициенты  и дисперсию порождающего шума  на каждом шаге. Это можно сделать, исходя из (3.20) и (3.15). Действительно,

,

где ,  – элементы матрицы . Отсюда можно определить недостающие параметры модели:

,                                (3.21)

.                 (3.22)

            С учетом (3.20) – (3.22) составим уравнения калмановского оценивания , состоящего из двух этапов – фильтрации и последующего сглаживания, соответствующих прямому и обратному ходу алгоритма вдоль строки. Использование двухпроходного алгоритма продиктовано тем фактом, что в оценивании каждого отсчета  по формулам (3.15) – (3.17) участвуют все элементы i-й строки изображения, следовательно, оценка производится на основе всех наблюдений . Поэтому для получения оптимальной оценки с использованием скалярного фильтра необходимо провести интерполяцию полученных прямым ходом оценок при помощи известных процедур, приведенных, например, в работах [2, 74].

            Первый этап работы скалярного алгоритма имеет следующий вид:

,   ,   (3.23)

,   ,     (3.24)

где , и начальные условия задаются в следующем виде:

,   ,.                                (3.25)

            Второй этап предполагает использование значений  и , вычисленных на предыдущем этапе:

,                                               (3.26)

,          (3.27)

где .

            Для вычисления коэффициентов  и  требуются точные значения  элементов матрицы . Как показывают эксперименты, значения элементов  устанавливаются достаточно быстро. Например, при ,  уже на 5 шаге (после оценивания 5 строки изображения) элементы матрицы  практически не изменяются. Поэтому коэффициенты  и  предлагается вычислять на основе установившегося значения этой матрицы .

            Таким образом, предлагается использовать следующий квазиоптимальный алгоритм оценивания. Для получения установившегося значения матрицы  первые несколько строк изображения оцениваются при помощи векторного фильтра Калмана (3.15) – (3.17). Затем осуществляется рекуррентное по пространству оценивание на основе скалярной процедуры (3.23) – (3.27) и установившихся значений матричных коэффициентов  и .

            Оценим вычислительную сложность алгоритма (3.23) – (3.27) и выигрыш данной процедуры перед векторным фильтром при условии предварительного пересчета матричных коэффициентов фильтра, то есть, будем сравнивать лишь вычислительную сложность получения оценки по формулам (3.16) и (3.13) – (3.17) соответственно. Для вычисления коэффициентов  на каждом шаге требуется 3 умножения, для прямого прохода алгоритма – 10 умножений, и для обратного прохода – еще 3 умножения. Таким образом, всего для оценки одной строки изображения требуется  умножений. Сравнивая полученную величину с количеством операций для получения векторной оценки (3.16), можно заключить, что выигрыш в числе операций, требуемых для фильтрации одной строки изображения, составляет .

            Для анализа эффективности предложенных алгоритмов были проведены вычисления на ЭВМ. Результаты, полученные при обработке изображений с помощью двух алгоритмов фильтрации – оптимального и квазиоптимального – представлены на рис. 3.11 – 3.14. На рис. 3.1 показано смоделированное изображение  размером 100´100 элементов. Параметры модели – , . На рис. 3.12 показано изображение  в смеси с реализацией шума с дисперсией . На рис. 3.13, 3.14 представлены отфильтрованные изображения с помощью оптимальный (рис. 3.13) и квазиоптимального (рис. 3.14) алгоритмов. На рис. 3.15 показаны точные (значки +) и приближенные (значки o) зависимости интегральных невязок  и  от номера элемента для последней строки изображения. Анализ показывает, что относительная ошибка оценивания коэффициентов составляет около 5%.

            На рис. 3.6 представлены зависимости дисперсии ошибки фильтрации от номера j элемента в последней строке изображения размером 100x100 элементов при использовании векторного оптимального фильтра (3.15), (3.16) (сплошные линии) и квазиоптимального скалярного алгоритма (3.19), (3.20) (пунктир) при коэффициентах корреляции ,  и двух отношениях сигнал/шум . На рис. 3.17, 3.18 показана дисперсия ошибки фильтрации среднего и крайних элементов последней строки. Необходимо отметить, что дисперсия ошибки на рис. 3.16 – 3.18 является потенциально достижимой.

            Анализ приведенных данных показывает, что предложенный подход позволяет получить алгоритмы фильтрации изображений, важным достоинством которых является простота технической реализации при весьма незначительном проигрыше перед оптимальными процедурами [72, 77, 96] по величине дисперсии ошибки, не превышающем 3–6%. Вместе с тем, выигрыш в числе арифметических операций по сравнению, например, с аналогичным оптимальным алгоритмом [96], может быть оценен примерно в  раз, где  – длина строки изображения.

            Несмотря на то, что предложенный алгоритм не является строго оптимальным, можно высказать предположение о том, что соответствующий подбор параметров и порядка АР модели (3.20) позволит получить еще более близкие к оптимальным решения. Тем не менее, следует отметить необходимость дальнейшего изучения идей, положенных в основу данного квазиоптимального алгоритма.