§ 2. СкоростьХотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Попробуйте-ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается таким образом, что его объем увеличивается со скоростью Чтобы еще яснее представить себе эти трудности, вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хитростями вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 км/час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имел в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и остановила машину,— может ответить она,— так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90километров в час». Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом. Но что означает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость. Но ведь это как раз то, что мы пытаемся определить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки должно сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду. Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите,— скажете вы в этом случае, — ваш спидометр показывает 60». «Мой спидометр сломан и давно не работает»,— ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы поверить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять се. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать лучшее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «По правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километров в час»,— ответите вы. А если это то же самое, то к чему тогда все длинные разговоры о Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 им час. Наши рассуждении о Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т. е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение скорости, которое мы и будем использовать. Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме. Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницсм и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ па вопрос: «Что означает Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время
причем точность будет тем больше, чем меньше
т. е. скорость есть предел отношения В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через
Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит
Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент
В нашей задаче
|