§ 5. Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потенциальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела  и  притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой . Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы т на вектор , зависящий лишь от положения частицы:

.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор , который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безотносительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор  имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от  — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела  и  создают поле, т. е. «делают» вектор . Когда тело помещено в поле, то сила действия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от , может быть записана в виде массы , умноженной на интеграл от  — это простое изменение масштаба, — то потенциальную энергию  тела, расположенного в точке , можно записать как произведение  на другую функцию. Назовем ее потенциалом . Интеграл  равен , подобно тому как  они отличаются только масштабом:

                                 (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию , можно немедленно вычислить потенциальную энергию тола в любой точке, а именно . Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать . Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию . Кроме того, когда поле создается многими массами, величину  рассчитывать легче, чем три компоненты : потенциалы—скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле , как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная . Пусть у нас есть точечные массы  в точках , и мы хотим знать потенциал  в некоторой произвольной точке . Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке :

                                            (14.8)

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4. Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как , пока  не станет равным , и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен ( — масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой  помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным  и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

Фигура 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом .

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке  дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и  и  комнонеиты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние , то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы компоненте силы, умноженной на  (если  достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

.                            (14.10)

Мы просто применили формулу  для очень малых расстоянии. Теперь разделим на  и обнаружим, что сила равна

.                                          (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при , стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых . Мы узнаем в правой части (14.10) производную  по  и хотим написать . Но  зависит и от , и от , и от , и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только  считается изменяющимся, а  и  — нет. Вместо  они просто пишут «6 навыворот», или . (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с , а не с ;  всегда хочется сократить, а вот на  как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут , а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за  скобку с маленькими  внизу , что означает: «Продифференцируй  по , считая  и  постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать  вместо  как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, .

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении  равна минус частной производной  по х:

.                              (14.11)

Точно так же и сила в направлении  получается дифференцированием  по  при постоянных  и ,а третья составляющая силы опять-таки есть производная по  при  и  постоянных:

.                                 (14.12)

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:

.                                  (14.13)

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как  есть вектор с компонентами , то символы , дающие  компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ , или , называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: компонента этого  есть , компонента  а компонента , и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

.                         (14.14)

Глядя на , мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь .

Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: . (В составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии. Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину , равную минус интегралу от  от произвольной фиксированной точки  до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину :

.

В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядом  (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно  (фиг. 14.5). Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от . Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине  минус та же величина на пластине :

.

Фигура 14.5. Поле между параллельными пластинами.

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора , то интеграл равен

.

Разница в потенциалах  называется напряжением и  измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом , напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно .