§ 4. Еще о четырехвекторах

Вернемся опять к аналогии между преобразованием Лоренца и вращением пространственных осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соединенные величины называют векторами, или направленными отрезками. При обычных вращениях немало величин преобразуется в точности так же, как  (например, скорость с тремя компонентами ); при переходе из одной системы координат в другую ни одна из компонент не остается прежней, все они приобретают новые значения. Но «сама» скорость, во всяком случае, более реальна, чем любая из ее компонент, и изображаем мы ее направленным отрезком.

Теперь мы спросим: существуют ли величины, которые преобразуются при переходе от неподвижной системы к движущейся так же, как и ? Наш опыт обращения с векторами подсказывает, что три из этих величин, подобно , могли бы представлять собой три компоненты обычного пространственного вектора, а четвертая могла бы оказаться похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли, однако, связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект (который можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся четверка «вращалась» точно так же, как изменяются пространство и время в пространстве-времени? Мы сейчас покажем, что действительно существует по крайней мере одна такая четверка (на самом деле далеко не одна): три компоненты импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и образуют так называемый «четырехвектор». Доказывая это, мы избавимся от  тем же приемом, какой употреблялся в уравнении (17.4). Например, энергия и масса отличаются только множителем  и при надлежащем выборе единиц измерения энергия совпадет с массой. Вместо того чтобы писать , мы положим . Если понадобится, в окончательных уравнениях можно опять расставить  в нужных степенях.

Итак, уравнения для энергии и импульса имеют вид

                 (17.6)

Значит, при таком выборе единиц получится

.                        (17.7)

Скажем, если энергия выражена в электронвольтах (эв), то чему равна масса в 1 эв? Она равна массе с энергией покоя 1 эв, т. е.  эв. У электрона, например, масса покоя равна  эв.

Как же будут выглядеть импульс и энергия в новой системе координат? Чтобы узнать это, надо преобразовать уравнения (17.6). Это преобразование легко получить, зная, как преобразуется скорость. Пусть некоторое тело имело скорость , а мы наблюдаем за ним из космического корабля, который сам имеет скорость , и обозначаем соответствующие величины штрихами. Для простоты сперва мы рассмотрим случай, когда скорость  направлена по скорости . (Более общий случай мы рассмотрим позже.) Чему равна скорость тела  по измерениям из космического корабля? Эта скорость равна «разности» между  и . По прежде полученному нами закону

.                 (17.8)

Теперь подсчитаем, какой окажется энергия  по измерениям космонавта. Он, конечно, воспользуется той же массой покоя, но зато скорость станет . Он возведет  в квадрат, вычтет из единицы, извлечет квадратный корень и найдет обратную величину

Поэтому

.                (17.9)

Энергия  просто равна массе , умноженной на это выражение. Но нам хочется выразить энергию через нештрихованные энергию и импульс. Мы замечаем, что

,

или

.             (17.10)

Мы узнаем в этом выражении знакомое нам преобразование

.

Теперь мы должны найти новый импульс . Он равен энергии , умноженной на , и так же просто выражается через  и :

.

Итак,

,                       (17.11)

и мы опять распознаем в этой формуле знакомое нам

.

Итак, преобразование старых энергии и импульса в новые энергию и импульс в точности совпало с преобразованием  и  в  и  и  в : если мы в уравнениях (17.4) будем писать  каждый раз, когда увидим , а вместо  всякий раз будем подставлять , то уравнения (17.4) превратятся в уравнения (17.10) и (17.11). Если все верно, то это правило предполагает добавочные равенства  и . Чтобы их доказать, надо посмотреть, как преобразуется движение вверх или вниз. Но как раз в предыдущей главе мы рассмотрели такое движение. Мы анализировали сложное столкновение и заметили, что поперечный импульс действительно не меняется при переходе в движущуюся систему координат. Стало быть, мы уже убедились, что  и . Итак, полное преобразование равно

                       (17.12)

Таким образом, эти преобразования выявили четыре величины, которые преобразуются подобно . Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс - это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути (фиг. 17.4). У этой стрелки временная компонента дает энергию, а пространственные - тривектор импульса; сама стрелка «реальнее», чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс, и энергия зависят от нашей точки зрения.

Фиг. 17.4. Четырехвектор импульса частицы.