§ 4. Момент количества движения твердого тела

Прежде чем расстаться с вопросом о вращении в трехмерном пространстве, обсудим еще, хотя бы качественно, некоторые неочевидные явления, возникающие при трехмерных вращениях.

Главное из них: момент количества движения твердого тела не обязательно направлен в ту же сторону, что и угловая скорость. Рассмотрим колесо, прикрепленное наклонно к оси, однако ось по-прежнему проходит через его центр тяжести (фиг. 20.6). Если вращать колесо вокруг оси, то всем известно, что из-за наклонной посадки оно будет трясти подшипники. Качественно мы знаем, что при вращении на колесо должна действовать центробежная сила, которая старается оттянуть его массу подальше от оси. Она старается выпрямить плоскость колеса так, чтобы оно было перпендикулярно к оси. Чтобы уравновесить это стремление, в подшипниках должен возникнуть момент сил. Но если в подшипниках возникает момент сил, то должна быть какая-то скорость изменения момента количества движения. Как может изменяться момент количества движения, если колесо просто вращается вокруг оси? Предположим, что мы разбили угловую скорость  на компоненты  и  - перпендикулярную и параллельную плоскости колеса. Чему при этом будет равен момент количества движения? Так как моменты инерции относительно этих двух осей различны, то отношение компонент момента количества движения, которые (при таком частном выборе осей) равны произведениям моментов инерции на соответствующие компоненты угловых скоростей, отличается от отношения компонент угловой скорости. Поэтому вектор момента количества движения не направлен вдоль оси. Поворачивая вал, мы должны поворачивать и вектор момента количества движения, что приводит к возникновению момента силы, действующего на ось.

Фиг. 20.6. Момент количества движения вращающегося тела не обязательно параллелен угловой скорости.

Момент инерции имеет еще одно очень важное и интересное свойство (я не буду доказывать его здесь, так как это очень сложно), которое легко описать и использовать. Наше предыдущее рассмотрение основано именно на этом свойстве. Оно состоит в следующем: любое твердое тело, даже неправильной формы, как, например, картошка, имеет такие три взаимно перпендикулярные проходящие через центр масс оси, что момент инерции относительно одной из них имеет наибольшую возможную величину из всех осей, проходящих через центр масс, а момент инерции относительно другой оси имеет наименьшую величину. Момент инерции относительно третьей имеет какую-то промежуточную величину между двумя первыми или равную одной из них. Эти оси, называемые главными осями тела, обладают тем важным свойством, что, если тело вращается вокруг одной из них, его момент количества движения имеет то же направление, что и угловая скорость. Если тело имеет оси симметрии, то направление главных осей совпадает с осями симметрии.

Если в качестве осей  и  выбрать главные оси тела и назвать соответствующие моменты инерции через  и , то нетрудно подсчитать момент количества движения и кинетическую энергию вращения тела при любой угловой скорости  (фиг. 20.7). Разлагая  на компоненты  и  по осям  и  и используя направленные вдоль этих осей единичные векторы , можно записать момент количества движения в виде

,                  (20.16)

причем кинетическая энергия будет равна

.                     (20.17)

Фиг. 20.7. Угловая скорость и момент количества движения твердого тела .