§ 2. Обратные операции

Кроме прямых операций сложения, умножения и возведения в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы  и ; как найти , удовлетворяющее уравнениям , , ? Если , то  определяется при помощи вычитания: . Столь же проста операция деления: если , то ; это решение уравнения  «задом наперед». Если вам встретится степень: , то надо запомнить, что  называется корнем -й степени из . Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» - следует отвечать: «Кубический корень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз  и  - различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если , то . Не надо пугаться громоздкой записи числа  в этом случае; находить его так же просто, как и результаты других обратных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:

а) сложение                                      а') вычитание                                                          б) умножение                                               б') деление                                                             в) возведение в степень                  в') извлечение корня                                                             г) возведение в степень                  г') взятие логарифма

(22.2)

В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, умножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расширить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами  и  и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень - как последовательное перемножение целых чисел.