Глава 23. РЕЗОНАНС

§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе. на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая - ординатой. Комплексное число  можно записать в виде ; при такой записи индекс  отмечает действительную часть , а индекс  - мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число  можно записать и так: , где ( - это комплексно сопряженное к  число; оно получается из  изменением знака ). Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем  и фазовым углом . Если заданы  и , то  и  равны  и , и, наоборот, исходя из числа , можно найти  и угол ;  равен  (т. е. отношению мнимой и действительной частей).

Фиг. 23.1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».

Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной . Такую силу  можно рассматривать как действительную часть комплексного числа , потому что . Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число , разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» , хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на ? Конечно, как действительную часть ; экспоненту в этом случае можно записать в виде . Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

.                      (23.1)

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.

.

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

,                (23.2)

где  - действующая на осциллятор сила, а  - его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что  и  - комплексные числа. Тогда  состоит из действительной части и умноженной на  мнимой части; то же самое касается и . Уравнение (23.2) в этом случае означает

или

.

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная часть  удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих  лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член , то, сделав подстановку , мы получили бы , и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к  и . Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член . Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

,                  (23.3)

где  - комплексное число. Конечно,  - тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть . Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом , то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа - о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты: . Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для : каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на . (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

.                 (23.4)

[Мы опустили общий множитель .] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

,

поскольку . Решение можно несколько упростить, подставив , тогда

.                   (23.5)

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку  - действительное число, то фазовые углы  и  совпадают (или отличаются на 180°, если ). Об этом тоже уже говорилось. Модуль , который определяет размах колебаний, связан с модулем  множителем ; этот множитель становится очень большим, если  приближается к . Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту  (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).