Глава 25. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР

§ 1. Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы сводилось к решению дифференциального уравнения

.                    (25.1)

Эта комбинация «операций» над переменной  обладает интересным свойством: если вместо  подставить , получится сумма одинаковых операций над  и , а умножение  на число  сводится к умножению на это число первоначальной комбинации. Это легко доказать. Чтобы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скорописные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом . Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25.1). Поэтому, согласно этой системе, символ  будет означать следующее:

.                    (25.2)

(Подчеркнем букву , чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но совершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто это «скоропись».

Наше первое утверждение, что

,                   (25.3)

следует из соотношений ,  и т. д.

Легко доказать, что для постоянного

.                     (25.4)

[Соотношения (25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) , мы получим (25.4) для частного значения  и т. д.]

Решая более сложные задачи, можно получить , в котором содержится больше членов и более высокие производные. Обычно первым делом интересуются, справедливы ли соотношения (25.3) и (25.4). Если они выполняются, то задачу называют линейной. В этой главе мы изучим некоторые свойства систем, следующие только из того факта, что система линейная. Это поможет нам понять общность некоторых свойств изученных ранее частных систем.

Давайте изучим некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо знакомом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свойство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравнение для переходных движений: свободных колебаний без действия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение

.                   (25.5)

Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравнение и нашли его частное решение . Это значит, что нам известна функция , для которой . После этого можно заметить, что  - тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное решение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если какое-либо решение позволяет частице продвинуться на определенное расстояние, то она может совершить и более длинный рейс. Доказательство: .

Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение , но и второе  (напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли , то мы нашли два значения , т. е. два решения:  и ). Покажем теперь, что комбинация  - тоже решение. Иными словами, если положить , то  - это опять решение уравнения. Почему? Потому что если  и , то . Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения линейной системы.

Продолжая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если  есть решение, то  - тоже решение. Другими словами, любая сумма двух решений, например  удовлетворяет уравнению. Если нам посчастливится найти три решения, то мы увидим, что любая комбинация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми решениями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифференциального уравнения второго порядка имеются лишь два независимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

              (25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо , т. е. . Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например . Тогда, вспомнив о (25.3), получим

.                  (25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное решение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусоидальным) решением: сначала к нему будут примешиваться переходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это будет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.