§ 4. Увеличение

До сих пор мы рассматривали процесс фокусировки только для точек, лежащих на оси. Построим теперь изображение объектов, несколько смещенных в сторону от оси; это поможет нам понять явление увеличения. Если с помощью линзы сфокусировать свет от небольшой нити на экран, то мы увидим изображение той же нити, только несколько большего или меньшего размера по сравнению с настоящей. Отсюда мы заключаем, что свет попадает в фокус от каждой точки нити. Чтобы получше в этом разобраться, рассмотрим линзу, схематически изображенную на фиг. 27.7. Нам известно, следующее:

1) каждый луч, параллельный оси, фокусируется по другую сторону линзы в точке, называемой фокусом и расположенной на расстоянии  от линзы;

2) каждый луч, приходящий из фокуса по одну сторону линзы, выходит с другой стороны параллельно оси.

Фигура 27.7. Геометрическое построение изображения от тонкой линзы

С помощью только этих фактов мы докажем формулу (27.12) геометрическим путем. Пусть объект находится на расстоянии  от фокуса и его высота есть . Мы знаем, что луч  отклоняется и пройдет через фокус  по другую сторону линзы. Если свет от точки  фокусируется линзой, достаточно определить путь еще одного луча, и тогда фокус будет расположен в точке пересечения двух лучей. Нужно только умело выбрать направление второго луча. Вспомним, что параллельный луч проходит через фокус, и наоборот: луч, проходящий через фокус, выходит параллельно оси! Поэтому проведем луч  через . (Правда, фокусируемые лучи могут быть гораздо тоньше, чем начерченные нами, но их труднее изобразить, поэтому оставим нашу прежнюю схему.) Поскольку луч параллелен оси, проведем  параллельно . Пересечение  и есть искомая точка. Отсюда мы получаем нужную высоту и правильное расстояние. Обозначим высоту через , а расстояние до фокуса через . Теперь можно вывести формулу для линзы. Из подобных треугольников  и  находим

.                                              (27.13)

Из треугольников  и  получаем

.                                                (27.14)

Разрешая оба равенства относительно ,  находим

.                                        (27.15)

Равенство (27.15) есть знаменитая формула для линзы; в ней содержится все, что нам нужно знать о линзах; увеличение  выражено через расстояние и фокусную длину. Возникающее отсюда соотношение, связывающее  и  с , имеет вид

.                                               (27.16)

Оно гораздо изящнее формулы (27.12). Мы рекомендуем читателю доказать, что при  и  равенства (27.12) и (27.16) совпадают.