§ 3. Синусоидальные волны

Зафиксируем вначале  и рассмотрим поле как функцию времени. Получается функция, которая осциллирует с угловой частотой . Угловую частоту со можно определить как скорость изменения фазы со временем (радианы в секунду). Эта величина нам уже знакома. Период есть время одного колебания, одного полного цикла; он равен , так как произведение со и периода есть полный период косинуса.

Введем новую величину, которая очень часто используется в физике. Она возникает в другой ситуации, когда  фиксировано и волна рассматривается как функция расстояния . Легко увидеть, что как функция  волна (29.3) тоже осциллирует. Если отвлечься от множителя , то мы видим, что  тоже осциллирует, когда мы меняем положение. Тогда по аналогии с  введем так называемое волновое число и обозначим его через . Оно определяется как скорость изменения фазы с расстоянием (радианы на метр). Время при таком изменении остается фиксированным.

Роль периода здесь играет другая величина, ее можно было бы назвать периодом в пространстве, однако ее обычное название — длина волны, а обозначается она буквой . Длина волны есть расстояние, на котором колебание поля совершает один полный цикл. Легко видеть, что длина волны равна , потому что , умноженное на длину волны, равно полному периоду косинуса. Итак, соотношение  полностью аналогично .

В нашем конкретном случае между частотой и длиной волны имеется определенная связь, однако приведенные выше определения  и  носят совершенно общий характер и применимы также в тех физических условиях, когда никакого соотношения между этими величинами нет. Для рассматриваемой нами волны скорость изменения фазы с расстоянием найти легко. В самом деле, запишем выражение для фазы  и возьмем частную производную по

.                                       (29.4)

Это соотношение можно записать разными способами:

,                                    (29.5)

,                                    (29.6)

,                                    (29.7)

.                                (29.8)

Почему длина волны оказывается равной периоду, умноженному на ? Очень просто. Дело в том, что за время, равное одному периоду, волны, двигаясь со скоростью , пройдут расстояние , а, с другой стороны, это расстояние должно быть равно длине волны.

В других физических явлениях, когда приходится иметь дело не со светом, такого простого соотношения между  и  может и не быть. Пусть волна движется вдоль оси , тогда распространение синусоидальной волны с частотой  и волновым числом  описывается общей формулой вида .

Введенное понятие длины волны позволяет уточнить пределы применимости формулы (29.1). Напомним, что поле складывается из нескольких частей: одна из них спадает как , другая — как , а остальные падают с расстоянием еще быстрее. Имеет смысл выяснить: когда часть, спадающая по закону , наиболее существенна, а остальными можно пренебречь? Естественно ответить: «Когда мы отойдем достаточно далеко от источника, потому что член  будет мал по сравнению с членом ». Но что значит «достаточно далеко»? В общих чертах ответ таков: все остальные члены имеют порядок величины  по сравнению с первым членом . Так что когда мы находимся на расстоянии нескольких длин волн от источника, формула (29.1) описывает поле в хорошем приближении. Область, удаленную от источника на расстояние, превышающее несколько длин волн, иногда называют «волновой зоной».