Глава 30. Дифракция

§ 1. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов

Настоящая глава — непосредственное продолжение предыдущей, хотя название «Интерференция» здесь заменено словом «Дифракция». До сих пор никому не удалось удовлетворительным образом определить разницу между дифракцией и интерференцией. Дело здесь только в привычке, а существенного физического различия между этими явлениями нот. Единственное, что можно сказать по этому поводу, — это следующее: когда источников мало, например два, то результат их совместного действия обычно называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции. Поэтому мы не будем утруждать себя вопросом — интерференция это или дифракция, а просто продолжим наше обсуждение с того места, где мы остановились в предыдущей главе.

Обсудим теперь случай, когда имеется  осцилляторов, расположенных на равных расстояниях один от другого и обладающих равными амплитудами, но разными фазами создаваемых ими полей. Разность фаз создается либо из-за выбора определенных фазовых сдвигов колебаний осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцилляторам и возникает разность хода лучей. Независимо от причины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида:

,      (30.1)

где  — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае . Вычислим сумму . Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого , а его фаза равна нулю; длина второго также , а фаза его равна . Следующее слагаемое имеет снова длину  и фазу, равную , и т. д. В конце концов получается часть правильного многоугольника с  сторонами (фиг. 30.1).

Фигура. 30.1. Результирующая амплитуда шести эквидистантных источников при разности фаз  между каждыми двумя соседними источниками.

Вершины многоугольника лежат, конечно, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус этой окружности. Пусть  есть ее центр. Тогда угол  равен как раз фазе  (поскольку радиус  образует с  такой же угол, как  с ). Следовательно, радиус  должен удовлетворять равенству , откуда мы и находим величину . Далее, большой угол  равен  следовательно, . Исключая из обоих равенств , получаем

                                 (30.2)

Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной

.                                 (30.3)

Проанализируем это выражение и обсудим вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив , получим, как и следовало ожидать, . Проверим формулу для : с помощью соотношения  сразу находим , что совпадает с (29.12).

Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е. все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меньше основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствующую выражению (30.3) для больших  и , близких к нулю. Прежде всего, когда  точно равно нулю, мы получаем отношение 0/0, но фактически для бесконечно малых  отношение синусов равно , так как синус можно заменить его аргументом. Таким образом, максимум кривой в  раз больше интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко понять, поскольку при нулевой разности фаз все  маленьких векторов складываются в один вектор, в  раз больший исходного, а интенсивность увеличивается в  раз.

С ростом фазы  отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при , поскольку . Другими словами, значение  отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30.1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов возвращаются в исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна .

Перейдем к следующему максимуму и покажем, что он действительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель я (30.3) оба меняются с изменением . Мы не станем этого делать, поскольку при большом  меняется медленнее  и условие  дает положение максимума с большой точностью. Максимум  достигается при  или . Это означает, что стрелки векторов описывают полторы окружности.

Подставляя , получаем  в числителе (30.3) (с этой целью и был выбран угол ) и  в знаменателе. Для достаточно большого  можно заменить синус его аргументом: . Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной / =70 (4ге79л2). Но  — не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсивность второго максимума получается равной  от максимальной, что составляет 0,047, или меньше 5%! Остальные максимумы, очевидно, будут еще меньше. Таким образом, возникает очень узкий основной максимум и очень слабые дополнительные максимумы по обе стороны от основного.

Фигура 30.2. Зависимость интенсивности от фазового угла для большого числа осцилляторов с одинаковыми амплитудами.

Фигура 30.3. Устройство из  одинаковых осцилляторов,  расположенных на линии. Фаза колебания -го осциллятора

Можно показать, что площадь под кривой интенсивности, включая все максимумы, равна  и в два раза превышает площадь пунктирного прямоугольника на фиг. 30.2.

Посмотрим теперь, что дает формула (30.3) в приложении к разным случаям. Пусть источники расположены на одной линии, как показано на фиг. 30.3. Всего имеется  источников на расстоянии  друг от друга, и сдвиг фазы между соседними источниками выбран равным . Тогда для лучей, распространяющихся в заданном направлении , отсчитываемом от нормали, вследствие разности хода лучей от двух соседних источников возникает дополнительный сдвиг фазы . Таким образом,

.                             (30.4)

Рассмотрим сначала случай . Все осцилляторы колеблются с одной фазой; требуется найти интенсивность их излучения как функцию угла . Подставим с этой целью  в формулу (30.3) и посмотрим, что получится в результате. Прежде всего при  возникает максимум. Значит, осцилляторы, колеблющиеся с одной фазой, дают мощное излучение в направлении . Интересно узнать, где находится первый минимум.

Он возникает при ; другими словами, первый минимум кривой интенсивности определяется из соотношения . Сокращая на , получаем

.                                                    (30.5)

Теперь разберем с физической точки зрения, почему минимум возникает именно в этом месте. В этом выражении  есть полная длина  нашей системы осцилляторов. Обращаясь к фиг. 30.3,  мы видим, что . Формула (30.5) подсказывает нам, что минимум возникает при , равном одной длине волны. Но почему минимум получается при ? Дело в том, что поля от отдельных осцилляторов равномерно распределены по фазе от 0 до 360°. Стрелки (см. фиг. 30.1) описывают полную окружность; мы складываем равные векторы, имеющие произвольные направления, а в этом случае сумма равна нулю. Вот при таких значениях угла, когда , возникает минимум. Это и есть первый минимум.

Формула (30.3) имеет еще одну важную особенность: при увеличении угла  на число, кратное , значение интенсивности не меняется. Поэтому для  и т. д. также возникают резкие и высокие максимумы. Вблизи этих максимумов интенсивность повторяет свой ход (см. фиг. 30.2). Зададимся вопросом, в силу каких геометрических соотношений возникают другие максимумы? Условие появления максимума записывается в виде , где  — любое целое число. Отсюда получаем . Сокращая на , получаем

.                                       (30.6)

Это соотношение очень похоже на формулу (30.5). Однако там было . Разница в том, что здесь нужно взять каждый отдельный источник и выяснить, что для него означает условие ; угол  здесь таков, что разность хода . Другими словами, волны, идущие от источников, различаются по фазе на величину, кратную 360°, и, следовательно, все находятся в фазе. Поэтому при сложении волн возникает столь же высокий максимум, как и в рассмотренном ранее случае . Побочные максимумы и весь ход интенсивности здесь такие же, как в случае . Таким образом, наша система посылает пучки лучей в разных направлениях, причем каждый пучок имеет высокий центральный максимум и ряд слабых боковых. Главные (центральные) максимумы в зависимости от величины  называются максимумами нулевого, первого и т. д. порядков;  называют порядком максимума.

Обратите внимание на такой факт: если  меньше , то формула (30.6) имеет единственное решение при . Поэтому для малого расстояния между источниками возникает один-единственный пучок, сконцентрированный около . (Разумеется, есть еще пучок в обратном направлении.) Чтобы получить максимумы других порядков, расстояние  должно быть больше одной длины волны.