§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости

Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцилляторы, причем все они колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно большом расстоянии от плоскости? (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью  и нас интересует поле в точке , лежащей на оси , достаточно далеко от плоскости (фиг. 30.10). Предположим, что число зарядов па единичной площадке равно , а величина каждого заряда . Все заряды совершают одинаковые гармонический колебания в одном и том же направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего положения описывается функцией . Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебание заряда функцией .

Фигура 30.10. Поле излучения осциллирующих зарядов, заполняющих плоскость.

Чтобы найти поле, создаваемое всеми зарядами в точке , нужно вычислить сначала поле отдельного заряда , а затем сложить поля вcex зарядов. Как известно, поле излучения пропорционально ускорению заряда, т. е.  (и одинаково для всех зарядов). Электрическое поле в точке , создаваемое зарядом в точке , пропорционально ускорению заряда , нужно только помнить, что поле в точке  в момент времени  определяется ускорением заряда в более ранний момент времени , где  — время, за которое волна проходит расстояние от  до . Поэтому поле в точке  пропорционально

                        (30.10)

Подставляя это значение ускорения в формулу для поля, создаваемого зарядом на большом расстоянии, получаем

                 (30.11)

Однако эта формула не совсем правильна, поскольку нужно брать не все ускорение целиком, а его компоненту, перпендикулярную линии . Мы предположим, однако, что точка  находится от плоскости намного дальше, чем точка  от оси  (расстояние  на фиг. 30.10), так что для эффектов, которые мы хотим учесть, косинус можно заменить единицей (косинус и так довольно близок к единице).

Полное поле в точке  получается суммированием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторную сумму полей. По поскольку направление поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно сложить величины всех полей. Кроме того, в нашем приближении поле в точке  зависит только от , следовательно, все заряды с одинаковым  создают равные поля. Поэтому прежде всего сложим поля всех зарядов в кольце шириной  и радиусом . Интегрируя затем но всем , получаем полное поле всех зарядов.

Число зарядов в кольце равно произведению площади кольца, , на  — плотность зарядов на единицу площади. Отсюда

                         (30.12)

Интеграл берется в пределах  и . Время , конечно, зафиксировано, так что единственными меняющимися величинами являются  и . Отвлечемся пока от постоянных множителей, включая и , и вычислим интеграл

                                   (30.13)

Для этого учтем соотношение между  и :

                            (30.14)

При дифференцировании формулы (30.14)  нужно считать независимым от , тогда

,

что очень кстати, поскольку при замене в интеграле  на  знаменатель  сокращается. Интеграл приобретает более простои вид

                            (30.15)

Экспонента интегрируется очень просто. Нужно поставить в знаменатель коэффициент при  в показателе экспоненты и взять саму экспоненту в точках, соответствующих пределам. Но пределы по  отличаются от пределов по . Когда , нижний предел , т. е. пределы по  равны  и бесконечности. Интеграл (30.15) равен

                          (30.16)

Вместо  мы здесь написали , поскольку и то и другое означает просто сколь угодно большую величину!

А вот  — величина загадочная. Ее действительная часть, равная , с математической точки зрении величина совершенно неопределенная. Хотя можно допустить, что она находится где-то [а может быть и всюду (?) — между  и !] Но в физической ситуации эта величина может означать нечто вполне разумное и обычно оказывается равной нулю. Чтобы убедиться, что это так в нашем случае, вернемся к первоначальному интегралу (30.15)

Выражение (30.15) можно понимать как сумму большого числа маленьких комплексных чисел, модуль которых , а угол в комплексной плоскости . Попробуем оценить эту сумму графически. На фиг. 30.11 отложены первые пять членов суммы. Каждый отрезок кривой имеет длину  и расположен под углом  к предыдущему отрезку. Сумма первых пяти слагаемых обозначена стрелкой из начальной точки к концу пятого отрезка. Продолжая прибавлять отрезки, мы опишем многоугольник, вернемся примерно к начальной точке и начнем описывать новый многоугольник. Чем большее число отрезков мы будем прибавлять, тем большее число раз мы обернемся, двигаясь почти по окружности с радиусом . Теперь понятно, почему интеграл дает при вычислении неопределенный ответ!

Здесь мы должны обратиться к физическому смыслу нашего примера. В любой реальной ситуации плоскость зарядов не может быть бесконечной, а должна где-то оборваться. Если плоскость резко обрывается и ее граница имеет точно форму окружности, то наш интеграл будет равен некоторому значению на этой окружности (см. фиг. 30.11). Если же плотность зарядов постепенно уменьшается по мере удаления от центра (или обращается в нуль вне некоторой границы неправильной формы, так что для достаточно больших  вклад всего кольца шириной  равен нулю), то коэффициент  в точном интеграле убывает, стремясь к нулю. Поскольку длина добавляемых отрезков в этом случае уменьшается, а угол  остается тем же самым, график кривой, соответствующей интегралу, будет иметь вид спирали. Спираль оканчивается в центре первоначальной окружности, как изображено на фиг. 30.12. Физически правильное значение интеграла дается величиной , которой на схеме соответствует расстояние от начальной точки до центра окружности, равное, как нетрудно убедиться,

                                 (30.17)

Фигура 30.11. Вычисление интеграла  графическим способом.

Фигура 30.12. Вычисление интеграла  графическим способом.

Точно такой же результат мы получили бы из (30.16), положив .

(Есть еще одна причина, почему вклад в интеграл от больших значении  стремится к нулю, — это опущенный нами множитель, учитывающий проекцию ускорения на плоскость, перпендикулярную линии .)

Нас, конечно, интересует именно случай, имеющий физический смысл, поэтому мы положим  равным нулю. Возвращаясь к формуле (30.12) для поля и вводя все опущенные ранее множители, мы получаем

                                (30.18)

(помня, что ).

Интересно отмстить, что  в точности равно скорости зарядов, так что выражения для поля можно переписать в виде

Полное поле в точке                                  (30.19)

Этот результат немного странен, потому что запаздывание отвечает расстоянию , которое есть кратчайшее расстояние от  до плоскости. Но таков ответ, и, к счастью, формула довольно проста. [Добавим кстати, что, хотя формулы (30.18) и (30.19) были получены только для достаточно большого расстояния от плоскости, обе они оказываются правильными для любых , даже для .]