Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности

Рассмотрим сначала простейший пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателями преломления (фиг. 27.2). Случай произвольных показателей пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача же достаточно проста и ее можно решить в любом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа , где  — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в  раз.

Фигура 27.2. Фокусировка на преломляющей поверхности.

Теперь представим себе точку  на расстоянии  от лицевой поверхности стекла и другую точку  на расстоянии  внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедший из  и попавший на поверхность в , приходил в точку . Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от  к  (т. е. расстояние , деленное на скорость света, равную единице) плюс , т.е. время на пути от  к , было постоянной величиной, не зависящей от положения точки . Это условие дает уравнение для определения поверхности. В результате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удовольствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай , когда кривая получается второго порядка и ее легче определить, Интересно сравнить эту кривую с кривой для фокусирующего зеркала (когда свет приходил из бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой.

Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокусировать свет от одной точке в другую, нужна довольно сложная поверхность. Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компромиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к оси . Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от оси, если они того хотят. Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности, поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучей, падающих на сферическую поверхность. Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей, которые проходят вблизи от оси. Иногда эти лучи называют параксиальными, а наша задача — найти условия фокусировки параксиальных лучей. Позже мы обсудим ошибки, связанные с отклонением лучей от оси.

Итак, считая, что  близко к оси, опустим перпендикуляр  длиной . Если бы наша поверхность была плоскостью, проходящей через , то время, затрачиваемое на пути от  к , превышало бы время на пути от  к , а время на пути от  к  превышало бы время от  к . Поверхность стекла должна быть кривой, потому что только в этом случае весь излишек времени компенсируется задержкой при прохождении пути от  к ! Далее, излишек времени па пути  есть , а излишек времени на отрезке  есть . Это лишнее время, которое должно компенсироваться временем на пути , накапливается на пути в среде, а не в вакууме. Другими словами, время на пути  в  раз больше соответствующего времени в вакууме, а поэтому лишнее время на этом отрезке есть . Ну, а какова длина ? Если  есть центр сферы с радиусом , то с помощью уже знакомой нам формулы выводим, что длина  есть . В результате мы получаем закон, который связывает длины  и  и определяет радиус кривизны  искомой поверхности:

                          (27.2)

или

.                                      (27.3)

Если мы хотим сфокусировать свет из точки  в точку , то эта формула позволяет вычислить требуемый радиус кривизны поверхности.

Интересно, что та же линза с таким же радиусом кривизны  будет фокусировать и на других расстояниях, т. е. она является фокусирующей для любой пары расстоянии, для которых сумма обратной величины одного расстояния и обратной величины другого, умноженного на , есть постоянное число. Таким образом, данная линза (если учитывать только параксиальные лучи) является фокусирующей не только для точек  и , но и для бесконечного числа пар точек, если эти пары удовлетворяют соотношению постоянная, характеризующая данную линзу.

Представляет интерес частный случай . Из формулы видно, что при увеличении  другое расстояние  уменьшается. Другими словами, когда точка  удаляется, точка  приближается, и наоборот. Когда точка  уходит на бесконечность, точка  также двигается внутри стекла вплоть до расстояния, называемого фокусным расстоянием . Если на линзу падает параллельный пучок лучей, он соберется в линзе на расстоянии . Можно задать вопрос и по-другому. (Вспомним правило обратимости: если свет переходит из  в , он, разумеется, может двигаться и в обратном направлении, из  в .) Таким образом, если источник света находится внутри стекла, то может возникнуть вопрос, где лучи соберутся в фокус? В частности, если источник внутри стекла находится на бесконечности (та же задача, что и раньше), то где будет фокус вне линзы? Это расстояние обозначают через . Можно, конечно, сказать и иначе. Если источник расположен на расстоянии , то лучи, проходя через поверхность линзы, выйдут параллельным пучком. Легко определить  и :

, или ,                             (27.4)

 или .                                 (27.5)

Отметим интересный факт: если мы разделим каждое фокусное расстояние на соответствующий показатель преломления, то получим один и тот же результат! На самом деле, это общая теорема. Она справедлива для любой сложной системы линз, поэтому ее стоит запомнить. Мы не доказали эту теорему в общем виде, а лишь отметили ее применимость для одной поверхности, однако оказывается, что вообще два фокусных расстояния некоторой системы связаны подобным образом. Иногда выражение (27.3) записывают в следующем виде:

.                              (27.6)

Такая форма белее удобна, чем (27.3), потому что проще измерить , чем кривизну и показатель преломления линзы. Если нам не нужно самим конструировать линзу или изучать в подробностях весь процесс, а достаточно достать линзу с полки, то нас будет интересовать только величина , а не  или !

Любопытная ситуация возникает, когда  становится меньше . Что же тогда происходит? При  обратная величина () больше () и поэтому  отрицательна. Наша формула утверждает, что свет фокусируется только при отрицательном значении ,— понимайте как хотите! Но означает это нечто весьма определенное и интересное. Формула эта остается полезной и для отрицательных значений. Что она означает, ясно из фиг. 27.3. Исходящие из точки  лучи преломляются на поверхности, но в фокус не собираются, так как точка  расположена слишком близко к поверхности, и лучи становятся «более чем параллельны». Однако они начинают расходиться так, как будто бы вышли из точки  вне линзы. Эта точка есть кажущееся изображение, или, как иногда говорят, мнимое изображение.

Фигура 27.3. Мнимое изображение

Фигура 27.4. Плоская поверхность раздела отображает точку в точку

Изображение  на фиг. 27.2 называется действительным изображением. Действительное изображение возникает, когда свет действительно проходит через точку. Но если кажется, что свет исходит из некоторой фиктивной точки, не совпадающей с действительным источником, то эта точка и есть мнимое изображение. Следовательно, для отрицательных  точка  находится по другую сторону поверхности, и все встает на свои места.

Рассмотрим теперь интересный случай, когда ; при этих условиях . Иными словами, , что означает, что если из плотной среды смотреть на некую точку в разреженной среде, то она будет казаться дальше в  раз. Мы можем прочитать наше уравнение и наоборот: при взгляде на объект, находящийся в плотной среде за плоской поверхностью раздела, нам будет казаться, что он расположен к нам ближе, чем на самом деле (фиг. 27.4). Когда мы смотрим сверху на дно плавательного бассейна, он кажется нам мельче в 3/4 раза, чем он есть на самом деле; эта цифра есть обратная величина показателя преломления воды.

Теперь мы могли бы перейти к сферическому зеркалу. Но если вникнуть в смысл сказанного нами ранее, то вполне можно разобрать этот вопрос самостоятельно. Поэтому пусть читатель сам выведет формулы для сферического зеркала, но для этого полезно принять следующие условия:

1) расстояние до объекта  положительно, если точка  расположена слева от поверхности;

2) расстояние до изображения  положительно, если точка  расположена справа от поверхности;

3) радиус кривизны поверхности положителен, если центр находится справа от поверхности.

Например, на фиг. 27.2 ,  и  положительны; на фиг. 27.3  и  положительны, a  отрицательна. Для вогнутой поверхности наша формула (27.3) остается справедливой, если считать  отрицательной величиной.

Пользуясь приведенными условиями, можно вывести соответствующую формулу и для зеркала, положив в (27.3)  (как если бы среда за зеркалом имела показатель преломления — 1), и тогда получится правильный результат!

Мы вывели формулу (27.3) простым и элегантным способом, исходя из принципа наименьшего времени; ту же формулу можно, конечно, получить с помощью закона Снелла, если учесть, что углы малы и заменить синусы самими углами.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>