§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде . Посмотрим теперь, является ли  решением волнового уравнения. Вычисляя , получаем производную функции . Дифференцируя еще раз, находим

.                 (47.15)

Дифференцируя эту же функцию  по , получаем значение , умноженное на производную, или ; вторая производная по времени дает

.              (47.16)

Очевидно, что  удовлетворяет волновому уравнению, если  равно .

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью  и, кроме того,

;

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных , т. е. звуковое возмущение вида  также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке , но знак  не зависит от выбора  или , потому что в эту производную входит только . Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью .

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем . Это значит, что вторая производная  по  равна второй производной  по , умноженной на . И пусть есть второе решение , обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

.             (47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что  тоже представляет некую волну, т. е.  тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

              (47.18)

и вдобавок

.             (47.19)

Отсюда следует, что , так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по .

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси  и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси , тоже удовлетворяет волновому уравнению

,                  (47.20)

где  - скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.