§ 6. Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

;

здесь  - скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете - то это скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как и избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению. Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание:  пропорционально скорости изменения  с расстоянием . Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по , мы немедленно обнаружим, что  удовлетворяет тому же самому уравнению. Другими словами,  удовлетворяет тому же самому уравнению. Но  пропорционально , поэтому и  удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, и перемещение - все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление - скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с давлением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением , где . Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением , и в этом случае  [сокращенная запись ]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

;                    (48.23)

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции . Ясно, что при каждом дифференцировании по  происходит умножение на . Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на , так что для такой волны первый член получится равным . Точно таким же образом второй член окажется равным , а третий - равным . С правой же стороны мы получим . Если мы вынесем за скобку  и изменим знаки всех членов, то увидим, что между  и  как раз получится желаемое соотношение.

Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если  - амплитуда нахождения частицы в момент  в точке с координатами  и , то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид

.                      (48.24)

Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат  и времени  в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство , которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!