Глава 49. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Отражение волн

В этой главе мы рассмотрим ряд замечательных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограниченную область. Сначала нам придется установить несколько частных фактов, относящихся, например, к колебанию струны, а затем, обобщив эти факты, мы придем, по-видимому, к наиболее далеко идущему принципу математической физики.

Первый пример волн в ограниченном пространстве - это волны в пространстве, ограниченном с одной стороны. Давайте возьмем простой случая одномерной волны на струне. Можно было бы рассмотреть плоскую звуковую волну в пространстве, ограниченном с одной стороны стенкой, или какие-то другие примеры той же природы, но для наших теперешних целей вполне достаточно простой струны. Предположим, что один конец струны закреплен, ну, например, вмурован в «абсолютно жесткую» стенку. Математически это можно описать, указав, что перемещение струны  в точке  должно быть нулем, ибо конец струны не может двигаться. Далее, если бы в этом деле не участвовала стенка, то, как мы знаем, общее решение, описывающее движение струны, можно было бы представить в виде суммы двух функций  и , причем первая описывает волну, бегущую по струне в одну сторону, а вторая - в другую, так что

                  (49.1)

будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим  и посмотрим, какие будут  в любой момент , то получим . Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а это означает, что функция  должна быть равна . Другими словами, функция  от некоторой величины должна быть равна функции  от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим решение поставленной задачи:

.              (49.2)

Ясно, что это выражение всегда даст , если  положить равным нулю.

На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном -направлении вблизи точки , и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат. Я сказал «гипотетическая», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеблющейся струны нет. Истинное же движение струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положительных . Достигнув начала координат, они в точке  полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, идущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных . Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув защемленного конца струны, отражается от него с изменением знака. Такое отражение всегда можно понять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногами». Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы ни находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки  другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке  никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте или нет.

Фиг. 49.1. Отражение от стенки как суперпозиция бегущих волн.

Следующий наш пример - отражение периодической волны. Предположим, что волна, описываемая функцией , представляет собой синусоидальную волну, которая затем отражается. Тогда отраженная волна  тоже будет синусоидальной волной той же частоты, но пойдет она в противоположном направлении. Эту ситуацию проще всего описать с помощью комплексных функций

 и .

Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и положить , то в любой момент времени  перемещение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде:

.                (49.3)

Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любую точку  нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой . Совершенно неважно, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где ), которые вообще не перемещаются. Более того, если в любой момент времени  сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет зависеть от времени . Из выражения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла синусоидальной волны равна длине какой-либо из волн:

.                    (49.4)

Неподвижные точки удовлетворяют условию , которое означает, что . Эти точки называются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз, но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная характеристика того, что называется собственным колебанием, гармоникой или модой. Если движение обладает тем свойством, что каждая точка предмета движется строго синусоидально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, больше, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием.